Dowód - przekrój zbiorów

[Kalkulatorek]

Witam!
Prosiłbym o komentarz odnośnie mojej próby rozwiązania tego zadania:

Udowodnić, że \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest największym zbiorem zawierającym się w \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

Rozważmy pewien zbiór \(\displaystyle{ Z}\), w którym zawierają się zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).
1. Biorę dowolny obiekt \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ x \in A \cap B}\)
2. \(\displaystyle{ A \cap B}\) będzie podzbiorem \(\displaystyle{ Z}\), jeśli
\(\displaystyle{ x \in A \cap B \Rightarrow x \in Z \\
(x \in A \land x \in B) \Rightarrow x \in Z}\)
Na mocy inkluzji z treści zadania dostajemy
\(\displaystyle{ x\in Z \land x \in Z \rightarrow x \in Z \Rightarrow x\in Z}\)
Zatem \(\displaystyle{ A \cap B \subseteq Z}\)

Czy ten dowód jest poprawny?
Skąd mamy jednak pewność, że jest to największy taki zbiór?

[Premislav]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest najmniejszym zbiorem zawierającym jednocześnie zbiory A i B

To nie jest prawda. Dobrze przepisałeś???
\(\displaystyle{ A \cap B}\) jest największym zbiorem (w sensie zawierania), który zawiera się zarówno w \(\displaystyle{ A}\), jak i w \(\displaystyle{ B}\), natomiast \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest najmniejszym (w sensie zawierania znów) zbiorem, który zawiera zarówno \(\displaystyle{ A}\), jak i \(\displaystyle{ B}\).

[Kalkulatorek]

Faktycznie, w moim poście byl błąd.
Poprawiłem.

[Jan Kraszewski]

Rozważmy pewien zbiór \(\displaystyle{ Z}\), w którym zawierają się zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

Zmieniłeś treść nie zmieniając dowodu. Nie to masz rozważyć.

JK