Witam, mam takie zadanie: Rozwiaz rownanie rozniczkowe drugiego rzedu - \(\displaystyle{ a x''(t) + b x'(t) + cx(t) = k \cdot u(t)}\) dla parametrów \(\displaystyle{ a=2, b=5, c=3}\). Przedstawić rozwiązanie ogólne i szczególne.
Rozważ przypadki:
(1) wymuszenie \(\displaystyle{ u(t) = 1, k=2}\) warunki początkowe \(\displaystyle{ x'(0)=0, x(0) = 2}\)
Moglby mnie ktos naprowadzic od czego zaczac? Kompletnie nie pamietam tego, a miałem to semestr temu, niestety zeszytu tez nie mam przy sobie.
Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu
-
YupYup
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 4 gru 2016, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu
Ostatnio zmieniony 16 paź 2017, o 22:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol pochodnej piszemy bez indeksu górnego. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol pochodnej piszemy bez indeksu górnego. Symbol mnożenia to \cdot.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu
Pachnie automatyką na kilometr. Więc jeśli chcesz pozostać w klimatach automatyki to zacznij od obustronnej . I policz .
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Transformacja_Laplace%E2%80%99aKod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Transmitancja_operatorowa-
YupYup
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 4 gru 2016, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu
A jeśli nie chce koniecznie pozostać w klimatach automatyki? Oczywiście wyucze sie jak to się dokładnie robiło, jednak na teraz potrzebuje wiedzieć jak rozwiązać przykłady tego typu.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu
Jeśli nie chcesz pozostawać w klimatach automatyki to mimo wszystko polecam transformacja Laplace’a. A jeśli bardzo nie tego nie chcesz, to polecam .
Równanie z zadania zamieniasz na równanie jednorodne a następnie szukasz jego rozwiązania ogólnego. Potem szukasz rozwiązania szczególnego równania z zadania a na koniec suma tych rozwiązań jest równaniem ogólnym rr.
\(\displaystyle{ 2x^{''}+5x'+3x=0}\)
Zapisujesz równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ 2\lambda^2+5\lambda+3=0}\)
Wyznaczasz jedno pierwiastki i robisz kombinację liniową \(\displaystyle{ e^{\lambda_1}}\), \(\displaystyle{ e^{\lambda_2}}\) z dowolnymi stałymi.
W tym przypadku
\(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{- \frac{3}{2}t }+\phi}\)
Przy czym \(\displaystyle{ \phi}\) jest szczególnym rozwiązaniem równia niejednorodnego. Przewiduje się te rozwiązania korzystając z "metody przewidywań". W tym konkretnym przypadku prawa strona jest liczbą więc przewidujemy \(\displaystyle{ \phi=A\in\RR}\). Po podstawianiu rozwiązania szczególnego do równania dostajesz że
\(\displaystyle{ 3\phi=2\ \Rightarrow \ \phi= \frac{2}{3}}\)
A więc rozwiązaniem jest
\(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{- \frac{3}{2}t }+\frac{2}{3}}\)
Żeby zakończyć zadanie musisz policzyć stałe \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\). Robisz to zwykłym układem równań wykorzystując informację o warunkach początkowych.
Zapisz
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(0)=2\\ x'(0)=0 \end{cases} \Rightarrow C_1,\ C_2=...}\)
Kod: Zaznacz cały
http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/index91.htmlRównanie z zadania zamieniasz na równanie jednorodne a następnie szukasz jego rozwiązania ogólnego. Potem szukasz rozwiązania szczególnego równania z zadania a na koniec suma tych rozwiązań jest równaniem ogólnym rr.
\(\displaystyle{ 2x^{''}+5x'+3x=0}\)
Zapisujesz równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ 2\lambda^2+5\lambda+3=0}\)
Wyznaczasz jedno pierwiastki i robisz kombinację liniową \(\displaystyle{ e^{\lambda_1}}\), \(\displaystyle{ e^{\lambda_2}}\) z dowolnymi stałymi.
W tym przypadku
\(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{- \frac{3}{2}t }+\phi}\)
Przy czym \(\displaystyle{ \phi}\) jest szczególnym rozwiązaniem równia niejednorodnego. Przewiduje się te rozwiązania korzystając z "metody przewidywań". W tym konkretnym przypadku prawa strona jest liczbą więc przewidujemy \(\displaystyle{ \phi=A\in\RR}\). Po podstawianiu rozwiązania szczególnego do równania dostajesz że
\(\displaystyle{ 3\phi=2\ \Rightarrow \ \phi= \frac{2}{3}}\)
A więc rozwiązaniem jest
\(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{- \frac{3}{2}t }+\frac{2}{3}}\)
Żeby zakończyć zadanie musisz policzyć stałe \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\). Robisz to zwykłym układem równań wykorzystując informację o warunkach początkowych.
Zapisz
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(0)=2\\ x'(0)=0 \end{cases} \Rightarrow C_1,\ C_2=...}\)