Witam!
Mam sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe jest poniższe zdanie:
\(\displaystyle{ (A \subseteq B) \lor (B \subseteq C) \Rightarrow (A \cup B) \subseteq C}\) .
Jeżeli lewa część implikacji jest fałszywa, to wtedy zdanie jest prawdziwe. Zatem rozważam tylko przypadek, w którym zakładam, że lewa strona jest prawdziwa. Z założeń mamy:
\(\displaystyle{ ( x \in A \rightarrow x\in C) \lor (x \in B \rightarrow x \in C )}\)
gdzie x jest dowolnym obiektem.
Aby ta alternatywa była prawdziwa, co najmniej jedna z tych implikacji musi być prawdziwa.
Korzystam z zasady eliminacji implikacji
\(\displaystyle{ (x \notin A \lor x \in C) \lor (x\notin B \lor x\in C)}\)
\(\displaystyle{ x \notin A \lor x \notin B \lor x \in C}\)
\(\displaystyle{ x \notin A \cup B \lor x \in C}\)
Ponownie, z prawa eliminacji implikacji
\(\displaystyle{ x \in A \cup B \rightarrow x \in C}\)
Zatem zdanie jest prawdziwe.
Czy w moim rozumowaniu są jakieś błędy?
Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe
-
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe
A nie miało być może takie zdanie:
\(\displaystyle{ (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq C) \Rightarrow (A \cup B) \subseteq C?}\)
To zdanie, które napisałeś, ewidentnie nie jest w ogólności prawdziwe, rozważ
\(\displaystyle{ A=\left\{ 0,1\right\}, B=\left\{ 2\right\}, C=\left\{ 0,1\right\}}\)
\(\displaystyle{ (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq C) \Rightarrow (A \cup B) \subseteq C?}\)
To zdanie, które napisałeś, ewidentnie nie jest w ogólności prawdziwe, rozważ
\(\displaystyle{ A=\left\{ 0,1\right\}, B=\left\{ 2\right\}, C=\left\{ 0,1\right\}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe
Nie, poprawnie przepisałem zdanie.
Znaczy to, że pomyliłem się gdzieś na etapie przekształceń,
Nie widzę jednak, gdzie.
Znaczy to, że pomyliłem się gdzieś na etapie przekształceń,
Nie widzę jednak, gdzie.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe
Drobna uwaga: zamiast "lewa strona implikacji" proponuję pisać "poprzednik implikacji".
Zasadniczy błąd jest tutaj:
Zasadniczy błąd jest tutaj:
To, że \(\displaystyle{ x \notin A \vee x\notin B}\) jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ x\notin A\cap B}\), nie zaś temu, że \(\displaystyle{ x\notin A\cup B}\) - jeśli tego nie widzisz, to np. sobie rozrysuj.\(\displaystyle{ x \notin A \lor x \notin B \lor x \in C\\
x \notin A \cup B \lor x \in C}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe
Dzięki, teraz już widzę, ten głupi błąd.
Wydaje mi się jednak, że taki sposób postępowania - mianowicie, przeksztalcanie wyrażenia logicznego, nie doprowadzi do rozwiązania zadania, jeśli zdanie w istocie nie jest prawdziwe.
Pomyślałem, że dobrze by było sobie to wstępnie rozrysować przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania. Jeśli z rysunku wyjdzie, że zdania są prawdziwe, można wtedy rozwiązywać je w taki sposób.
Jak jednak zabrać się za takie zadanie, gdy zdanie jest fałszywe?
Wydaje mi się jednak, że taki sposób postępowania - mianowicie, przeksztalcanie wyrażenia logicznego, nie doprowadzi do rozwiązania zadania, jeśli zdanie w istocie nie jest prawdziwe.
Pomyślałem, że dobrze by było sobie to wstępnie rozrysować przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania. Jeśli z rysunku wyjdzie, że zdania są prawdziwe, można wtedy rozwiązywać je w taki sposób.
Jak jednak zabrać się za takie zadanie, gdy zdanie jest fałszywe?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe
Czasami od razu się widzi, że zdanie jest fałszywe (choć przeważnie to przychodzi z doświadczeniem dopiero). Wtedy po prostu szukasz prostego kontrprzykładu (albo mniej prostego). Przy takich prostych zadaniach dobrze sobie czasem rozrysować na kartce jakieś zbiory jak w szkole średniej czy przedszkolu, to pomaga zobaczyć, co się dzieje.
Jeśli nie widzisz, że zdanie jest nieprawdziwe, to można spróbować udowodnić, że jest prawdziwe, a gdy napotkasz problem, to zastanów się, czy wynika on z braku wiedzy/pomysłu, czy raczej z tego, że to nie jest prawda; czasem zacięcie się przy próbie dowodu pokazuje, czemu teza nie może być prawdziwa.
Można tez oczywiście rozpisywać to zerami i jedynkami, ale ja tego nie lubię.-- 16 paź 2017, o 19:04 --Nie wiem, czy to się trzyma kupy, bo ja nie umiem odpowiadać na takie filozoficzne pytania. Jest zadanie - to zrobię (albo nie, jeśli nie będę umiał).
Jeśli nie widzisz, że zdanie jest nieprawdziwe, to można spróbować udowodnić, że jest prawdziwe, a gdy napotkasz problem, to zastanów się, czy wynika on z braku wiedzy/pomysłu, czy raczej z tego, że to nie jest prawda; czasem zacięcie się przy próbie dowodu pokazuje, czemu teza nie może być prawdziwa.
Można tez oczywiście rozpisywać to zerami i jedynkami, ale ja tego nie lubię.-- 16 paź 2017, o 19:04 --Nie wiem, czy to się trzyma kupy, bo ja nie umiem odpowiadać na takie filozoficzne pytania. Jest zadanie - to zrobię (albo nie, jeśli nie będę umiał).
-
- Administrator
- Posty: 34232
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe
To zdanie pokazuje, że nie odróżniasz implikacji od wynikania.Kalkulatorek pisze:Jeżeli lewa część implikacji jest fałszywa, to wtedy zdanie jest prawdziwe. Zatem rozważam tylko przypadek, w którym zakładam, że lewa strona jest prawdziwa.
Bardzo chciałbym zobaczyć, jak uzasadnisz, że to wynika z założeń.Kalkulatorek pisze:Z założeń mamy:
\(\displaystyle{ ( x \in A \rightarrow x\in C) \lor (x \in B \rightarrow x \in C )}\)
gdzie x jest dowolnym obiektem.
Osobiście zwalczam taki sposób przeprowadzania tego typu dowodów. Podejrzewam, że nie byłbyś w stanie obronić poprawności podanego przez Ciebie dowodu.
Przeprowadzając takie dowody zaczynasz od tezy: masz udowodnić, że \(\displaystyle{ A\cup B \subseteq C}\). Korzystając z definicji zawierania ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x\in A\cup B}\), potem korzystasz z definicji sumy zbiorów, potem z założenia i koniec dowodu.
JK