Atrybut główny, postać zbioru oraz postać algebraiczna

[hugo1199]

Witam.
Mam problem z 3 zadaniami:

\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac i2}\)

oraz

\(\displaystyle{ z=2 \cdot i}\)

Tutaj mam problem z atrybutem chociaż za każdym razem wychodzi tak samo oraz z postacią algebraiczną \(\displaystyle{ z^{41}}\).

\(\displaystyle{ \sqrt{30 \cdot i-16}}\)
Tutaj natomiast mam problem z obliczeniem postać zbioru - kompletnie nic mi nie wychodzi...

Będę wdzięczny za pomoc. Pozdrawiam.

[a4karo]

To napisz co zrobiłeś

[Janusz Tracz]

Wskazówka do 1), 2) podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i zastanów się kiedy liczby zespolone są sobie równe.

[hugo1199]

To napisz co zrobiłeś

\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac i2}\)
Stoję na
\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac i2+1^{42}(cos\cdot41\cdot \frac{11\pi}{2}+i\cdot sin\cdot41\cdot \frac{11\pi}{2})=cos\pi+i\cdot sin=-1}\)

Coś mi nie wyszło ale nie mogę dojść co...
A jeśli jest dobrze to co z tym dalej zrobić

Z jednym zadaniem sobie poradziłem - błąd tak banalny że aż głupio lecz z \(\displaystyle{ \sqrt{30 \cdot i-16}}\) nie mogę sobie poradzić. Szukałem w internecie lecz nie znalazłem nic co wyglądałoby na coś pomocnego.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sqrt{30 \cdot i-16}}\)
Rozwiązania podać w postaci zbioru.

Nie oczekuję zrobienia zadań w 100% ( chociaż może wtedy byłoby mi łatwiej zrozumieć gdzie robie błąd). Wystarczy nakierowanie.

[a4karo]

A możesz objasnić jak doszedłeś do tego na czym stoisz? Bo jakoś te równości nie wyglądaja na prawdziwe.

A w ogóle to szkoda, że nie napisałeś treści zadań, które rozwiązujesz. Jasnowidzów na tym forum ostatnio deficyt.

[hugo1199]

Tak mi wyszło ale domyślam się ze jest źle.

Ukryta treść:    

[Janusz Tracz]

Zadanie 1.
hmmm a może tak. Zastanów się nad liczbą \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}}{2} {\red{+}} \frac{i}{2}}\). Ponieważ część rzeczywista i urojona są dodatnie to liczba ta leży i pierwszej ćwiartce. Łatwo zauważyć że dla takich liczb prawdziwa jest zależność \(\displaystyle{ \arg z=\arctg \frac{y}{x}}\) a więc \(\displaystyle{ \arg\left( \frac{ \sqrt{3}}{2} {\red{+}} \frac{i}{2}\right) =30^{\circ}}\). Twoja liczba to \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}}\) jest ona symetryczna względem osi rzeczywistej dlatego stwierdzamy że \(\displaystyle{ \arg \left( \frac{ \sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) =-30^{\circ}}\)
Wniosek z tego taki że

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}=\cos \left( -30^{\circ}\right)+i\sin\left( -30^{\circ}\right)}\)

Teraz widać że

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)^{41} =\cos \left( -30^{\circ} \cdot 41\right)+i\sin\left( -30^{\circ} \cdot 41\right)}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)^{41} =\cos \left( -1230^{\circ} \right)+i\sin\left( -1230^{\circ}\right)}\)

zapisz \(\displaystyle{ 1230^{\circ}}\) jako wielokrotność \(\displaystyle{ 360^{\circ}}\) i dokończ.

Zadanie 2. jest łatwiejsze.

\(\displaystyle{ \left( 2i\right)^{41}=2^{41} \cdot i^{41}=2^{41} \cdot i^{4 \cdot 10+1}=2^{41} \cdot i}\)-- 16 paź 2017, o 19:41 --Zadanie 3.
Wskazówka 1) Pamiętaj że pierwiastek drugiego stopnia ma 2 rozwiązania.
wskazówka 2) \(\displaystyle{ -16+30i=9+30i-25=3^2+2 \cdot 3 \cdot 5i+\left( 5i\right)^2=...}\)