Homomorfizm,Izomorfizm

[max123321]

Co to jest intuicyjnie homomorfizm i izomorfizm? W algebrze mi chodzi.

[szw1710]

Izomorfizm to jest coś co świadczy o identycznej strukturze dwóch obiektów. O tym, że w sumie tak samo wykonuje się działania w tych obiektach. Np. rozważmy grupę trzyelementową \(\displaystyle{ (\ZZ_3,+)}\) (dodawanie modulo \(\displaystyle{ 3}\)). Mamy np. \(\displaystyle{ 2+2=1.}\) Teraz rozważmy grupę zespolonych pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ 3}\) z jedynki (z mnożeniem, zwyczajnym). Niech \(\displaystyle{ \varepsilon_0=1}\), \(\displaystyle{ \varepsilon_1=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon_2=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}}\). Mamy

\(\displaystyle{ \varepsilon_1\cdot\varepsilon_1=\cos\frac{8\pi}{3}+i\sin\frac{8\pi}{3}=\varepsilon_2.}\)

Działania wykonuje się zupełnie tak samo. Formalnie możesz sprawdzić, że przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi(0)=\varepsilon_0}\), \(\displaystyle{ \varphi(1)=\varepsilon_1}\), \(\displaystyle{ \varphi(2)=\varepsilon_2}\) jest izomorfizmem obu grup.

Homomorfizm ustala to podobieństwo tylko w jakimś stopniu. Działania wykonuje się też tak samo, ale nie zawsze będzie to bijekcja.

[max123321]

Hmm czekaj zatrzymajmy się przy tym chwilę bo czegoś nie rozumiem. Dlaczego zachodzi to?
\(\displaystyle{ \varepsilon_2\cdot\varepsilon_2=\cos\frac{8\pi}{3}+i\sin\frac{8\pi}{3}=\varepsilon_1.}\), przecież to chyba nie jest równe \(\displaystyle{ 1}\)?

[szw1710]

W \(\displaystyle{ \ZZ_3}\) masz dodawanie, a w liczbach zespolonych mnożenie. Więc \(\displaystyle{ 0}\) przechodzi na \(\displaystyle{ 1}\). W poprzedniej odpowiedzi wcześniej używałem innych oznaczeń, zapomniałem zmienić w tym równaniu. Ma być \(\displaystyle{ \varepsilon_2\cdot\varepsilon_2=\varepsilon_1}\).

[max123321]

Chyba \(\displaystyle{ \varepsilon_2\cdot\varepsilon_2=\varepsilon_1}\) bo tak by się zgadzało.

[szw1710]

Tak jak napisałem powyżej. Niestety - mechanizm kopiuj-wklej jest mało doskonały i nieodporny na błędy.

[max123321]

No dobra to chyba zaczynam kapować, że niby ten \(\displaystyle{ \varepsilon_2}\) w jednej grupie odpowiada \(\displaystyle{ 2}\) w drugiej grupie i analogicznie \(\displaystyle{ \varepsilon_1}\) odpowiada \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon_0}\) odpowiada \(\displaystyle{ 0}\) i tym sensie są tożsame te grupy tak?

[szw1710]

Tak