Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

[Julian1998]

Cześć!
Mam pewno zadanie:

Wykaż, że zbiór \(\displaystyle{ \left(\mathbb {Z} /5\right)^{2}}\) z działaniami:

\(\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)\\
(a,b)(c,d)=(ac - bd,ad + bc)}\)

jest pierścieniem, ale nie jest pierścieniem całkowitym.

Wykazałem już, że jest pierścieniem.
Nie potrafię wykazać, że NIE JEST pierścieniem całkowitym, nie wiem w ogóle w jaki sposób się tego dowodzi, gdyż jest zbiór do kwadratu . ( \(\displaystyle{ \left(\mathbb {Z} /5\right)^{2}}\) )

Proszę o pomoc.

[leg14]

Wez takie elementy:
\(\displaystyle{ (1,2),(2,1)}\)

[arek1357]

Wystarczy pokazać że są dzielniki zera np masz:

\(\displaystyle{ (x,3x) \cdot (1,2)=(0,0)}\)

[Julian1998]

Dziękuję, ale czy moglibyście mi pokazać caly dowód jak to formalnie zapisać?

Nie potrafię, bo nigdy nie robiłem takiego dowodu.

[leg14]

Chcesz zaprzeczyc temu, że pierścień jest całkowity. Pierścień jest całkowity \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) nie ma nietrywialnych dzielników zera. Zatem zaprzeczeniem całkowitości będzie wskazanie nietrywailnego dzielnika zera - podaliśmy Ci z Arkiem przykłady.

[Julian1998]

Przepraszam, ale dalej nie rozumiem.

Proszę wytłumaczcie mi przeprowadzając cały dowód.
Nie potrafie wskazać tych dzielników zera, ponieważ nie wiem jak to sie robi, gdy są pary liczb \(\displaystyle{ (a,b)}\)...

Wiem, że trzeba wykazać chyba, że jeśli \(\displaystyle{ (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad-bc)=(0,0)}\)
to wtedy... tu nie wiem.

Proszę rozpiszcie mi to jakoś i wskażcie jak się znajduje te nietrywialne dzielniki zera, gdy zbiór jest podniesiony do kwadratu. Naprawdę nie rozumiem.

[Jan Kraszewski]

Nie potrafie wskazać tych dzielników zera, ponieważ nie wiem jak to sie robi, gdy są pary liczb \(\displaystyle{ (a,b)}\)...

Wez takie elementy:
\(\displaystyle{ (1,2),(2,1)}\)

Wiem, że trzeba wykazać chyba, że jeśli \(\displaystyle{ (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad-bc)=(0,0)}\)

No i prawie już masz dowód.

JK

[Julian1998]

Przepraszam, tam ma być \(\displaystyle{ \left(ad+bc \right)}\) zamiast \(\displaystyle{ \left( ad-bc\right)}\)

Noi gdy podstawię \(\displaystyle{ \left( 1,2\right)\left( 2,1\right)}\) to wychodzi mi \(\displaystyle{ \left( 0,5\right)}\), a nie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\).

Nie rozumiem dalej.

[Jan Kraszewski]

Noi gdy podstawię \(\displaystyle{ \left( 1,2\right)\left( 2,1\right)}\) to wychodzi mi \(\displaystyle{ \left( 0,5\right)}\), a nie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\).

Zauważ, że w \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) masz \(\displaystyle{ 1\cdot 1+2\cdot 2=0}\).

JK