Dowody i równania

[wiatrak123]

Witam, ktoś pomoże?

1. znajdź wszystkie całkowite rozwiązania równania:
a) \(\displaystyle{ x ^{2}=\left( 5-y\right)\left( 4-y\right)+9y}\)
b) \(\displaystyle{ x ^{2}+3=x ^{2}y}\)

2. Znajdź wszystkie naturalne rozwiązania równania:
a)\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{14}}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{2}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{4}}\)

3. Wiedząc, że: \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=a}\) oblicz \(\displaystyle{ x^{7}+ \frac{1}{x ^{7} }}\)

4. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a b c}\) są dodatnie oraz \(\displaystyle{ ab+bc+ac=1}\) to \(\displaystyle{ a+b+c \ge \sqrt{3}}\)

5. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ A=4 ^{ \sqrt{27}+8 }}\) i \(\displaystyle{ B=8 ^{ \sqrt{12}+4 }}\) to \(\displaystyle{ A=16B}\)

6.Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b}\) są dodatnie i \(\displaystyle{ ab \le 1}\) to \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 1+ \frac{1}{b} \right) \ge 4}\)

Z góry dziękuje

[Premislav]

Zadanie 4.
\(\displaystyle{ \frac 1 2(a-b)^2+\frac 1 2(b-c)^2+\frac 1 2(c-a)^2\ge 0 \Leftrightarrow (a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)}\),
pierwsza nierówność jest oczywiście prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c}\).
Ostatnią nierówność pierwiastkujemy stronami, korzystamy z założenia i koniec.

Zadanie 6.
Z nierówności Cauchy'ego-Schwarza:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 1+ \frac{1}{b} \right)=\left( 1^2+ \left(\frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2\right)\left( 1^2+ \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 \right) \ge \\ \ge \left(1+ \frac{1}{\sqrt{ab}} \right)^2 \ge \left( 1+1\right) ^2=4}\),
w ostatniej nierówności wykorzystałem założenie, bo gdy \(\displaystyle{ a,b}\) dodatnie i \(\displaystyle{ ab \le 1}\), to także \(\displaystyle{ \sqrt{ab}\le 1}\), a wówczas \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{ab}}\ge 1}\)

[kerajs]

1.
a)
\(\displaystyle{ x^2=20+y^2\\
(x-y)(x+y)=20\\
\begin{cases} x=6 \\ y=4 \end{cases} \vee \begin{cases} x=6 \\ y=-4 \end{cases} \vee \begin{cases} x=-6 \\ y=4 \end{cases} \vee \begin{cases} x=-6 \\ y=-4 \end{cases}}\)
b)
\(\displaystyle{ x^2= \frac{3}{y-1} \\
\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases} \vee \begin{cases} x=-1 \\ y=4 \end{cases}}\)

3.
\(\displaystyle{ x^7+ \frac{1}{x^7}=\left( x+ \frac{1}{x}\right)^7-7\left( x^5+ \frac{1}{x^5}\right)-21\left( x^3+ \frac{1}{x^3}\right)-35\left( x+ \frac{1}{x}\right)=\\=a^7-7\left[ \left( x+ \frac{1}{x}\right)^5-5\left( x^3+ \frac{1}{x^3}\right)-10\left( x+ \frac{1}{x}\right)\right]-21 \left( x^3+ \frac{1}{x^3}\right)-35a=....}\)

[Janusz Tracz]

2a)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{14}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x+y}{xy}= \frac{1}{14}}\)

\(\displaystyle{ xy-14y-14x=0}\)

\(\displaystyle{ y(x-14)-14x=0}\)

\(\displaystyle{ y(x-14)-14x+14^2=14^2}\)

\(\displaystyle{ y(x-14)-14(x-14)=14^2}\)

\(\displaystyle{ (x-14)(y-14)=14^2}\)

\(\displaystyle{ (x-14)(y-14)=2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7}\)

Teraz można wypisać wszystkie możliwe układy \(\displaystyle{ 2}\) liczb jeszcze trzeba by było uwzględnić znak bo \(\displaystyle{ \left( -\right) \cdot \left( -\right)=\left( +\right)}\) więc wszystkich możliwości trochę będzie.

[piasek101]

5) Zamień podstawy na 2 i może zobaczysz co dalej.

2b) Pomnóż przez wspólny mianownik, jest
\(\displaystyle{ 4x-xy=-8y}\)

\(\displaystyle{ x(4-y)=-8y}\) sprawdź co będzie dla \(\displaystyle{ y=4}\), potem dla różnych od cztery mamy

\(\displaystyle{ x=\frac{8y}{y-4}}\)

czyli \(\displaystyle{ x=8+\frac{32}{y-4}}\)