Oblicz granicę funkcji

[Nieoryginalny]

Oblicz granicę funkcji
\(\displaystyle{ \lim_{x \to\infty } \frac{a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+a_{2}x^{m-2}+ ... +a_{m-1}x+a_{m}}{b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+b_{2}x^{n-2}+ ... +b_{n-1}x+b_{n}}}\)

\(\displaystyle{ m,n \in N, a_{0} \neq 0, b_{0} \neq 0}\)

[Janusz Tracz]

Rozpatrz 3 przypadki:
1) \(\displaystyle{ m>n}\)
2) \(\displaystyle{ m<n}\)
3) \(\displaystyle{ m=n}\)

Wyciągnij przez nawias \(\displaystyle{ x}\) z największą potęgą.

[Nieoryginalny]

Wybacz, ale nie za bardzo wiem jak to dalej zrobić. Gdy rozpatruję dany przypadek, co powinienem dokładnie zrobić?

[Janusz Tracz]

Zauważ że:

\(\displaystyle{ \frac{a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+a_{2}x^{m-2}+ ... +a_{m-1}x+a_{m}}{b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+b_{2}x^{n-2}+ ... +b_{n-1}x+b_{n}}= \frac{x^m \cdot \left( a_0+ \frac{a_1}{x}+ \frac{a_2}{x^2}+...+ \frac{a_m}{x^m} \right) }{x^n \cdot \left( b_0+ \frac{b_1}{x}+ \frac{b_2}{x^2}+...+\frac{b_n}{x^n} \right) }}\)

1) Jeśli \(\displaystyle{ m>n}\) to

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{x^m \cdot \left( a_0+ \frac{a_1}{x}+ \frac{a_2}{x^2}+...+ \frac{a_m}{x^m} \right) }{x^n \cdot \left( b_0+ \frac{b_1}{x}+ \frac{b_2}{x^2}+...+\frac{b_n}{x^n} \right) } \rightarrow \infty \cdot \frac{a_0}{b_0}= \pm \infty}\)
Znak \(\displaystyle{ \pm}\) zależy od znaku \(\displaystyle{ \frac{a_0}{b_0}}\). Można napisać ogólnie
\(\displaystyle{ \frac{x^m \cdot \left( a_0+ \frac{a_1}{x}+ \frac{a_2}{x^2}+...+ \frac{a_m}{x^m} \right) }{x^n \cdot \left( b_0+ \frac{b_1}{x}+ \frac{b_2}{x^2}+...+\frac{b_n}{x^n} \right) } \rightarrow \text{sgn}\left( \frac{a_0}{b_0} \right) \cdot \infty}\)

2) Jeśli \(\displaystyle{ m<n}\) to

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{x^m \cdot \left( a_0+ \frac{a_1}{x}+ \frac{a_2}{x^2}+...+ \frac{a_m}{x^m} \right) }{x^n \cdot \left( b_0+ \frac{b_1}{x}+ \frac{b_2}{x^2}+...+\frac{b_n}{x^n} \right) } \rightarrow
0 \cdot \frac{a_0}{b_0}=0}\)

3) Jeśli \(\displaystyle{ m=n}\) to

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{x^m \cdot \left( a_0+ \frac{a_1}{x}+ \frac{a_2}{x^2}+...+ \frac{a_m}{x^m} \right) }{x^n \cdot \left( b_0+ \frac{b_1}{x}+ \frac{b_2}{x^2}+...+\frac{b_n}{x^n} \right) } \rightarrow \frac{a_0}{b_0}}\)