Aksjomat ekstensjonalności - równoważność zamist implikacji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Aksjomat ekstensjonalności - równoważność zamist implikacji

Post autor: Kalkulatorek »

Witam!

Na Wikipedii spotkałem się z taką postacią aksjomatu ekstensjonalności:
\(\displaystyle{ \forall(x) \forall(y)((\forall(z) (z \in x \iff z \in y) \Rightarrow x = y))}\)
Zastanawia mnie, dlaczego użyty został symbol implikacji. Przecież z faktu, że dwa zbiory są sobie równe, wynika, że jeżeli istnieje element należący do jednego z nich, to należy on również do drugiego z nich.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Aksjomat ekstensjonalności - równoważność zamist implika

Post autor: matmatmm »

Właśnie dlatego. Implikacja w drugą stronę wynika z praw logicznych, więc nie trzeba jej zakładać w formie aksjomatu.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Re: Aksjomat ekstensjonalności - równoważność zamist implika

Post autor: Kalkulatorek »

@matmatmm
Mógłbyś przytoczyć, jakie prawa logiczne pozwalają wywnoskować, że z
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\) wynika \(\displaystyle{ q \Rightarrow p}\)?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Aksjomat ekstensjonalności - równoważność zamist implika

Post autor: matmatmm »

Chodzi o prawa logiczne dotyczące równości. Jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), to w dowolnym miejscu możemy zastąpić \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ y}\) i na odwrót.
ODPOWIEDZ