2 urny i liczba podzielna przez 11

[poetaopole]

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim – 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego –cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11.
Czy dobrze myślę? Moc omegi to: \(\displaystyle{ 6 \cdot 8}\). Poszukiwane zdarzenie składa się z 6 zdarzeń elementarnych, bo tylko liczby o tych samych cyfrach dzielą się przez 11. Czyli \(\displaystyle{ P(A)= \frac{6}{48} = \frac{1}{8}}\). Dobrze to zrobiłem?

[janusz47]

Doświadczenie losowe dwuetapowe:

Etap pierwszy

Losowanie kuli z pierwszego pudełka

Etap drugi

Losowanie kuli z drugiego pudełka.

Model etapu pierwszego:

\(\displaystyle{ ( \Omega_{1}, 2^{\Omega_{1}}, P_{1})}\)

\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{1,2,3,4,5,6\}.}\)

\(\displaystyle{ |\Omega_{1}| = 6.}\)

\(\displaystyle{ 2^{\Omega_{1}}= \{ \emptyset, 1,2,3,...,6, (1,2),... ,(6,6),...., \{1,2,3,4,5,6\}\}.}\)

\(\displaystyle{ P_{1}(\omega\} = \frac{1}{|\Omega_{1}|} = \frac{1}{6}.}\)


Model etapu drugiego:


\(\displaystyle{ ( \Omega_{2}, 2^{\Omega_{2}}, P_{2})}\)



\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}.}\)


\(\displaystyle{ |\Omega_{2}| = 8.}\)


\(\displaystyle{ 2^{\Omega_{2}}= \{ \emptyset,1,2,3,4,5,6,7,8, (1,2),... ,{6,6},...., \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\}.}\)


\(\displaystyle{ P_{2}(\omega) = \frac{1}{|\Omega_{2}|} = \frac{1}{8}.}\)


Model doświadczenia dwuetapowego:


\(\displaystyle{ (\Omega, 2^{\Omega}, P)}\)


\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1}\times \Omega_{2} = \{\omega=(i, j ): i \in\{1,2,3,4,5,6} \wedge j\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\}}\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = 6\cdot 8 =48.}\)


\(\displaystyle{ 2^{|\Omega|} = 2^{\sum_{i=1}^{2}|\Omega_{i}|}}\)


\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega|} = P_{1}\cdot P_{2} = \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8}= \frac{1}{48}.}\)

Oznaczenie zdarzenia:

\(\displaystyle{ A}\) - "utworzona liczba dwucyfrowa jest podzielna przez liczbę 11"

Liczba dzieli się przez 11, kiedy różnica między sumą cyfr stojących na miejscach parzystych (licząc od prawej strony) i sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych jest wielokrotnością 11 lub jest równa 0.

\(\displaystyle{ A = \{(1,1) (2,2), (3,3), (4, 4), (5,5), (6,6),\}.}\)

\(\displaystyle{ P(A) = 6\cdot \frac{1}{48}= \frac{1}{8}.}\)

Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa.

Realizując doświadczenie losowe możemy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 12,5\%}\) ogólnej liczby wyników będziemy otrzymywali parę liczb takich, że utworzona z nich liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ 11.}\)

Poetoopole

Jeśli chcesz otrzymywać pełną liczbę punktów na maturze pisemnej za zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa, to musisz nauczyć się modelowania doświadczeń losowych, które te zadania w swojej treści zawierają i ich interpretacji.

[poetaopole]

Jestem pod wrażeniem. Dziękuję.

[a4karo]

Właśnie przyszła mi do głowy pewna modyfikacja tego zadania: w pierwszej urnie jest \(\displaystyle{ 2017}\) kul i na każdej z nich jest napisana pewna liczba naturalna ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5,6\}}\), a w drugiej \(\displaystyle{ 8}\) kul z numerkami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 8}\).
Losujemy jak wyżej i pytanie jak wyżej.