Jeśli wiesz, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) to liczby dodatnie naturalne oraz \(\displaystyle{ \frac{a}{b} < \frac{c}{d}}\) , porównaj liczby \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) i \(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d}}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne ?
\(\displaystyle{ \left( a,b,c,d\right) \in N}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left( a+c\right) }{\left( b+d\right) } \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c + c^{2} }{b \cdot d + d ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \cdot c}{b \cdot d} < \frac{a \cdot c + c^{2} }{b \cdot d + d^{2} }}\)
Porównaj liczby
Porównaj liczby
Ostatnio zmieniony 14 paź 2017, o 19:00 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Porównaj liczby
To nie jest rozwiązanie, więc nie można powiedzieć "czy poprawne". Nie uzasadniasz w żaden sposób tego, co piszesz (chodzi mi o te ostatnią nierówność).
Ja mam taką propozycję:
\(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b}= \frac{ab+bc-ab-ad}{b^2+bd}= \frac{bc-ad}{b^2+bd}= \frac{bd}{b^2+bd}\left( \frac c d -\frac a b\right)}\)
Z założeń mamy \(\displaystyle{ b,d>0}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{bd}{b^2+bd}>0}\), a także
\(\displaystyle{ \frac{c}{d} -\frac a b>0}\), zatem mamy
\(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b}>0}\),
czyli \(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d} > \frac{a}{b}}\)
przy założeniach zadania.
Ja mam taką propozycję:
\(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b}= \frac{ab+bc-ab-ad}{b^2+bd}= \frac{bc-ad}{b^2+bd}= \frac{bd}{b^2+bd}\left( \frac c d -\frac a b\right)}\)
Z założeń mamy \(\displaystyle{ b,d>0}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{bd}{b^2+bd}>0}\), a także
\(\displaystyle{ \frac{c}{d} -\frac a b>0}\), zatem mamy
\(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b}>0}\),
czyli \(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d} > \frac{a}{b}}\)
przy założeniach zadania.
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Porównaj liczby
Można też od razu z założenia
\(\displaystyle{ \frac{c}{d}> \frac{a}{b} \\ \\
\frac{ad}{b} <c \\ \\
\frac{ad}{b}+a <a+c \\
\frac{a(b+d)}{b} <a+c \\ \\
\frac{a(b+d)}{b(b+d)}< \frac{a+c}{b+d}}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{d}> \frac{a}{b} \\ \\
\frac{ad}{b} <c \\ \\
\frac{ad}{b}+a <a+c \\
\frac{a(b+d)}{b} <a+c \\ \\
\frac{a(b+d)}{b(b+d)}< \frac{a+c}{b+d}}\)