funkcja będąca homomorfizmem dla grupy abelowej

[Blomex]

Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą i \(\displaystyle{ g \in G}\) Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ g \rightarrow g^{-1}}\) jest homomorfizmem grupy \(\displaystyle{ G \Leftrightarrow}\) grupa \(\displaystyle{ G}\) jest grupą abelową.

\(\displaystyle{ \varphi(a \cdot b)= \varphi(a) \cdot \varphi(b)}\) ale co z tym dalej zrobić?

[leg14]

\(\displaystyle{ y^{-1} \cdot x^{-1}=f(x \cdot y ) = f(x) \cdot f(y) = x^{-1} \cdot y^{-1}}\)

[Blomex]

Dlaczego \(\displaystyle{ y ^{-1} \cdot x ^{-1}=f(x \cdot y)}\)? bardzo nieintuicyjne dla mnie.

[leg14]

Sprawdz na palcach, ze \(\displaystyle{ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}}\)

[Blomex]

\(\displaystyle{ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}}\)

Siedzę prawie godzinę i nadal tego nie widzę.
Czy \(\displaystyle{ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}}\) jest trywialne? jest jakiś dowód tego?
Czy działa to dla każdego działania określonego w danej grupie? Czy jest podobna "własność" dla np 3 elementów z danej grupy? tj na przykład:
\(\displaystyle{ (x\cdot y \cdot z )^{-1}= (a\cdot z)^{-1}=z^{-1}\cdot a^{-1} =z^{-1} \cdot (x\cdot y)^{-1}= z^{-1} \cdot y^{-1} \cdot x^{-1}}\) ?


Czy \(\displaystyle{ \exists ( \cdot) |\left[ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1} \wedge (x\cdot y )^{-1} \neq x^{-1} \cdot y^{-1}\right]}\) ?

[leg14]

Odpowiedz na ostatnei pytanie : zalezy od grupy. Dla grup abelowych zawsze zachodzi \(\displaystyle{ \left[ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1} \wedge (x\cdot y )^{-1} = x^{-1} \cdot y^{-1}\right]}\)
Jesli grupa nie jest abelowa to \(\displaystyle{ \exists ( \cdot) |\left[ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1} \wedge (x\cdot y )^{-1} \neq x^{-1} \cdot y^{-1}\right]}\)

Siedzę prawie godzinę i nadal tego nie widzę.
Czy \(\displaystyle{ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}}\) jest trywialne? jest jakiś dowód tego?

A nie mozesz po prostu wymnozyc odpowiednich elementow ze soba i zobaczyc, czy wyjdzie Ci element neutralny? (element odwrotny jest zawsze wyznaczony jednoznacznie)
\(\displaystyle{ y^{-1} \cdot x^{-1} \cdit ( x \cdot y ) = y^{-1} \cdot (x ^{-1} \cdot x ) \cdot y = ... = e}\)

[Blomex]

Dzięki! wreszcie rozumiem