Jak wyjaśnić działanie 2. aksjomatu dla tej normy

[ReallyGrid]

Mam zadaną taką normę dla \(\displaystyle{ f \in C[0, 1]}\):

\(\displaystyle{ ||f|| =|f(0)| + \max_{x \in [0, 1]}f(x) - \min_{x \in [0, 1]}f(x).}\)

Muszę wykazać, że jest to norma na przestrzeni funkcji ciągłych z przedziału [0, 1]:

Aksjomat 1 (o nieujemności normy) już wykazałem wykazując, że \(\displaystyle{ \max_{x \in [0, 1]}f(x) - \min_{x \in [0, 1]}f(x)}\) jest nieujemne a po dodaniu |f(0)| (nieujemnego czynnika) całe wyrażenie jest nieujemne.

Problem mam z drugim aksjomatem. Jak wykazać, że \(\displaystyle{ ||\lambda f|| = |\lambda| \cdot ||f||}\)?

Oczywiście zaczynając mamy:

\(\displaystyle{ ||\lambda f|| = |\lambda f(0)| + \max_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) - \min_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) =}\)
\(\displaystyle{ = |\lambda| |f(0)| + \max_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) - \min_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) =}\)

Nie wiem co z tym \(\displaystyle{ \max_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) - \min_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr)}\) zrobić. Wykazałem w 1. kroku, że to wyrażenie jest na pewno nieujemne, ale co dalej?

Gdyby było dalej:

\(\displaystyle{ \max_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) - \min_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) = |\lambda| \bigl(\max_{x \in [0, 1]}f(x) - \min_{x \in [0, 1]}f(x)\bigr)}\)

to by poszło bo lambdę przed nawias i sprawa załatwiona ale nie widzę wprost, żeby to było prawdą. Może jakieś pomysły?

[matmatmm]

Pierwszy aksjomat jest inny.

A drugi można na przykład rozważając przypadki:

1. \(\displaystyle{ \lambda\ge 0}\)
\(\displaystyle{ \max(\lambda f)-\min(\lambda f)=\lambda\max f-\lambda \min f=|\lambda|(\max f -\min f)}\)


2. \(\displaystyle{ \lambda<0}\)
\(\displaystyle{ \max(\lambda f)-\min(\lambda f)=\lambda\min f-\lambda \max f=(-\lambda)(\max f -\min f) = |\lambda|(\max f -\min f)}\)