Długość deltoidy

[Mlody Banach]

Niech będzie dane odwzorowanie \(\displaystyle{ t \mapsto \frac{1}{4}
\left( \begin{array}{ccc}
2\cos t+\cos2t \\
2\sin t-\sin2t \\
\end{array} \right)}\).
Jak obliczyć długość obrazu tego odwzorowania (deltoidy)?

[Premislav]

Myślę, że Stefan Banach umiałby into internety po krótkim czasie.
424885.htm

-- 12 paź 2017, o 22:01 --

Masz krzywą zadaną parametrycznie (czy jakoś tam to się zwało), gdzie \(\displaystyle{ t}\) przebiega jakiś tam przedział \(\displaystyle{ [a,b]}\) (należy popatrzeć, gdzie tu będą jakieś ewentualne samoprzecięcia)
i \(\displaystyle{ (x,y)=(x(t), y(t))}\). No to w celu policzenia długości tej krzywej liczysz taką całkę:
\(\displaystyle{ int_{a}^{b} sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} ,dd t}\)
Dowodu tego wzoru za Chiny sobie nie przypomnę, a wyprowadzać mi się nie chce, poszukaj w notatkach.
No to tutaj:
\(\displaystyle{ x(t)= frac{2cos t+cos(2t)}{4}, x'(t)= -frac{sin t+sin(2t)}{2}, (x'(t))^2= frac{sin^2 t+2sin tsin(2t)+sin^2(2t)}{4}\ y(t)= frac{2sin t-sin (2t)}{4}, y'(t)= frac{cos t-cos(2t)}{2}, (y'(t))^2= frac{cos^2 t-2cos tcos(2t)+cos^2(2t)}{4}}\)
Ustal teraz ten przedział \(\displaystyle{ [a,b],}\) no i wstaw do wzoru, powodzenia. Jest trochę trygonometrii, ale nic strasznego.

[Janusz Tracz]

"Dowód" tego wzoru intuicyjnie opiera się chyba na twierdzeniu Pitagorasa.
Mając jakąś krzywą \(\displaystyle{ \Gamma}\) zadaną parametryczni możemy wyobrazić ją sobie jako drogę po jakiej się poruszamy. Drogę tą generują punkty \(\displaystyle{ \left( x(t),y(t)\right)}\) dla \(\displaystyle{ t\in\left[ a,b\right]}\) , prędkość w kierunku \(\displaystyle{ X}\) to \(\displaystyle{ x'}\) a w kierunku \(\displaystyle{ Y}\) to \(\displaystyle{ y'}\). Prędkość całkowita to z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ v(t)= \sqrt{x'^2+y'^2}}\). No ale my liczymy drogę czyli całkę z prędkości. A więc droga przebyta po czasie \(\displaystyle{ t_0}\)

\(\displaystyle{ \left| \Gamma (t_0)\right|= \int_{a}^{t_0}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \,\dd t}\)

A cała droga to

\(\displaystyle{ \left| \Gamma (t_{\text{końcowe}})\right|= \int_{a}^{b}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \,\dd t}\)