symbol newtona dowód przez indukcję

[osa750]

Dobry wieczór mam problem z takimi przykładami:

1) Dowieść przez indukcję: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} =2^n}\)

2) Metodą różniczkowania rozwinięcia newtona oblicz: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k {n \choose k}}\)

3) Odpowiednio dobierając a i b w rozwinięciu newtona \(\displaystyle{ (a+b) ^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k}b^{n-k}}\) znajdź wyrażenia na: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k {n \choose k}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k (-1)^{k} {n \choose k}}\)

Co do ostatniego to wiem że to chodzi o zwykły dwumian newtona. Ale jak on się ma do następnych? Wydaje się że już gdzieś to widziałem i mam wrażenie jak bym miał zaciemnienie umysłu. Jakieś wskazówki do tego i reszty? Dziękuję.

Edit: poprawione

[szw1710]

376642.htm

ad 2) Różniczkujemy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=(1+x)^n}\).

[Premislav]

3) Ale przecież w ogólności
nie jest prawdziwą równość \(\displaystyle{ (a+b) ^{n}= \sum_{k=0}^{n} k {n \choose k} a^{k}b^{n-k}}\), mamy za to (patrz poprzedni podpunkt)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}kx^{k-1}{n \choose k}=n(x+1)^{n-1}}\) i z tego można skorzystać w tym ostatnim, wstawiając odpowiednie wartości.

-- 10 paź 2017, o 20:12 --

BTW
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k{n \choose k}= \sum_{k=0}^{n} (n-k){n \choose n-k}=\sum_{k=0}^{n} (n-k){n \choose k}}\)
więc jeśli
\(\displaystyle{ S=\sum_{k=0}^{n} k{n \choose k}}\), to \(\displaystyle{ 2S=n \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}}\)

[osa750]

Dobra, chyba skumałem o co chodzi. Napiszę wieczorem moje wypociny, bo na razie jestem na komórce -- 11 paź 2017, o 10:02 --Premislav. Skąd się wzięło przejście w ostatniej linijce?

[Premislav]

\(\displaystyle{ 2S=\sum_{k=0}^{n} k{n \choose k}+\sum_{k=0}^{n} k{n \choose k}=\\=\sum_{k=0}^{n} k{n \choose k}+\sum_{k=0}^{n} (n-k){n \choose n-k}=\\=\sum_{k=0}^{n} k{n \choose k}+\sum_{k=0}^{n} (n-k){n \choose k}=\\=\sum_{k=0}^{n}( k+n-k){n \choose k}=n \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}}\)
W drugiej równości odwróciłem kolejność sumowania w jednej z sum, w trzeciej równości skorzystałem z tożsamości \(\displaystyle{ {n \choose n-k}={n \choose k}}\) (w naturalnych \(\displaystyle{ k, n}\) spełniających \(\displaystyle{ 0\le k\le n}\) działa, co można sprawdzić rozpisując na silnie albo pisząc interpretację kombinatoryczną, nie pamiętam, czy to się jakoś uogólniało).

[osa750]

Ok dzięki. Teraz zajarzylem. A co do 1 zadania. Widzę że to elegancko ze wzoru Newtona wychodzi. A jak to zrobić Indukcja?

[Premislav]

Wskazówka do drugiego kroku indukcyjnego:
dla \(\displaystyle{ k=1,2\ldots n}\) mamy \(\displaystyle{ {n+1 \choose k}={n \choose k}+{n \choose k-1}}\)
W oparciu o tę wskazówkę spróbuj sam to zrobić, nie jest to trudne.