Transformata odwrotna

[bakus123]

Witam!
Mam prośbę czy mógłby mi ktoś sprawdzić czy transformatę wykonałem dobrze ? Oczywiście chodzi o Laplace'a
\(\displaystyle{ L[at ^{n} ] = a \frac{n!}{s ^{n+1} }}\)
\(\displaystyle{ L[5t ^{2} ] = 5 \cdot \frac{2!}{s ^{3} } = 5 \cdot \frac{2}{s ^{3} }= \frac{10}{s ^{3} }}\)
I tu moje pytanie czy to mam dobrze a jeśli tak to co dalej...

[Igor V]

Wygląda ok. Co dalej ? Nie wiem, masz już transformatę. Transformatę odwrotną możesz policzyć z tego samego wzoru.-- 27 wrz 2017, o 13:29 --PS - tylko pamiętaj że \(\displaystyle{ f(t) = 0 \ \text{dla} \ t < 0}\) więc formalnie powinieneś jeszcze pomnożyć to co wyjdzie z transformaty odwrotnej przez jedynkę Heaviside’a.

[janusz47]

To jest transformata Laplace'a (wprost) jednomianu kwadratowego \(\displaystyle{ 5t^2}\)

Proszę sprawdzić ten wynik ( z tablicy transformat Laplace'a) , korzystając bezpośrednio z definicji przekształcenia Laplace'a:

\(\displaystyle{ L[5t^2] = F(s) = \int _{0}^{\infty}5t^2e^{-st}dt}\) (wykonując dwukrotne całkowanie przez części)


oraz odwrotnego przekształcenie Laplace'a:

\(\displaystyle{ f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{x -i\infty}^{x +i\infty}e^{st}\frac{10}{s^3}ds= \frac{1}{2\pi i}\lim_{\alpha \to \infty}\int_{x -i\alpha}^{x +i\alpha}e^{st}\frac{10}{s^3}ds.}\)

[bakus123]

Całe zadanie wygląda tak jednakże muszę każdy element rozbić więc zastanawiam się nad tym akurat
\(\displaystyle{ y' + y = 5 t^{2} + 2t - 4}\)
I tą lewą strone to zrobię bez problemu , problem rodzi się po prawej gdy z elementu \(\displaystyle{ 5t ^{2}}\) zrobi mi się \(\displaystyle{ \frac{10}{s ^{3} }}\)
I jak zrobić potem transformatę odwrotną
Chyba ze licząc całość coś się uprości potem

[janusz47]

\(\displaystyle{ y' +y = 5t^2 +2t -4,}\)

\(\displaystyle{ L[ y' +y] = L[5t^2+2t -4]}\)

Z własności addytywności i jednorodności przekształcenia Laplace'a:

\(\displaystyle{ sY +Y +\frac{4}{s}= 5\frac{2}{s^3}+2\frac{1}{s^2}}\)

\(\displaystyle{ Y(s+1) = \frac{10}{s^3}+\frac{2}{s^2}- \frac{4}{s}.}\)

\(\displaystyle{ Y = \frac{10}{s^3(s+1)}+ \frac{2}{s^2(s+1)} - \frac{4}{s(s+1)}.}\)

Korzystając z tablic oraz własności addytywności i jednorodności odwrotnego przekształcenia Laplace'a:

\(\displaystyle{ y = L^{-1}[Y] = L^{-1}\left[\frac{10}{s^3(s+1)}\right] + L^{-1}\left[\frac{2}{s^2(s+1)}\right] - L^{-1}\left[\frac{4}{s(s+1)}\right]}\)

\(\displaystyle{ y = L^{-1}[Y]= 10 \left[ -e^{-t}+1- t +\frac{1}{2}t^2\right] +2\left[-1 +t +e^{-t}\right]- 4\left[ 1 -e^{-t}\right]}\)

\(\displaystyle{ y = 5t^2 -8t +4 -4e^{-t}.}\)