Witam.
Wpadłem niedawno na takie (myślę, że ciekawe) pytanie: niech dany będzie ciąg: \(\displaystyle{ c _{0} = 1 \ \ \ \ c _{n + 1} = \ln(1 + c _{n})}\) . Dla jakiej funkcji elementarnej \(\displaystyle{ f(x)}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {\frac{c_{n}}{f(n)}} = 1}\) ?
Na to pytanie udało mi się odpowiodzieć (z dowodem), a odpowiedzią jest \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{x}}\).
Oprócz tego chciałem się w tym poście podzielić dość zawiłą nierównością dotyczącą logarytmu naturalnego. Użyłem jej w dowodzie odpowiadającym na wyżej postawione pytanie, a wygląda ona tak:
\(\displaystyle{ \ln \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{2 \ln(x)}{x^2} \right) < \frac{2}{x + 1} + \frac{2 \ln(x + 1)}{(x + 1)^2}}\)
To wszystko, chciałem się tylko podzielić tymi dwoma rzeczami.