Transformacja Laplace'a

[bakus123]

Witam, zwracam się z prośbą do kogoś kto byłby mi w stanie wytłumaczyć jak krok po kroku rozwiązać pewien przykład ponieważ mam ogromny problem ze zrozumieniem sposobu rozwiązywania tych zadań a niedługo II termin egzaminu
\(\displaystyle{ y'' - y = -5\cos 2t}\)
gdzie \(\displaystyle{ y(0) = -2}\) oraz \(\displaystyle{ y'(0) = 3}\)
Z góry dziękuje za pomoc, pozdrawiam

[HelperNES]

Skorzystaj ze wzoru na transformatę Laplace'a pochodnej:

\(\displaystyle{ L\{f'(t)\}(s)=sL\{f(t)\}(s)-f(0)}\)

Pamiętaj, że działa też dla \(\displaystyle{ f''(t)}\)

\(\displaystyle{ L\{f''(t)\}(s)=sL\{f'(t)\}(s)-f'(0)}\)

Po obliczeniu obydwu stron, sprowadź do postaci:

\(\displaystyle{ L\{f(t)\}(s)=??}\)

Potem już tylko trzeba użyć transformaty odwrotnej \(\displaystyle{ L^{-1}(\cdot)}\) w równaniu

[bakus123]

Witam, trochę z przerwami gdyż nie mam czasu niestety dużo ale ile moge to poświęcam na to właśnie
Prosiłbym o sprawdzenie początku czy jest wszystko ok i ewentualne poprawki
\(\displaystyle{ y''-y= -5 \cos 2t \\
L \left[ y \right] = F \left( s \right) \\
L \left[ y'' \right] = s^{2} \cdot L \left[ y \right] - s \cdot y \left( 0 \right) - s ^{0} \cdot y' \left( 0 \right) \\
L \left[ y'' \right] = s ^{2} \cdot F \left( s \right) + 2s -3 \\
L \left[ -5\cos 2t \right] = -5 \cdot \left[ \frac{s}{s ^{2}+2 ^{2} } \right]}\)

Końcowy wynik wychodzi mi w stylu
\(\displaystyle{ L \left[ y \right] = \left( \cos 2t \cdot \sinh t \right) + 2 \cosh t + 3 \sinh t}\)