Nierówność dla n liczb

[Ogorek00]

\(\displaystyle{ a_{1} , a_{2} ... a_{n} > 0\\
S= a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}\)

Udowodnij, że

\(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{S - a_{1}} + \frac{ a_{2}}{S - a_{2}} + ... + \frac{ a_{n}}{S - a_{n}} \ge \frac{n}{n-1}}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[Premislav]

Czy znasz nierówność Jensena
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{S-x}}\) tak na oko jest wypukła tam gdzie chcemy, więc
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac 1 n \frac{a_i}{S-a_i} \ge \frac{\frac 1 n S}{S-\frac 1 n S}}\)
Mnożymy to stronami przez \(\displaystyle{ n}\) i do widzenia.

Ale wypukłość należałoby uzasadnić (np. licząc drugą pochodną, choć są też inne metody).

[timon92]

można dodać \(\displaystyle{ n}\) stronami (po \(\displaystyle{ 1}\) do każdego z ułamków) i potem zastosować nierówność między średnimi (arytmetyczną i harmoniczną)

[Premislav]

Można też zapisać
\(\displaystyle{ \left(\frac{a_{1}}{S - a_{1}} + \frac{ a_{2}}{S - a_{2}} + ... + \frac{ a_{n}}{S - a_{n}}\right)\left(a_1(S-a_1)+a_2(S-a_2)+\ldots+a_n(S-a_n) \right) \ge \\\ge S^2}\)
na mocy nierówności Cauchy'ego-Schwarza i ponieważ mamy
\(\displaystyle{ a_1(S-a_1)+a_2(S-a_2)+\ldots+a_n(S-a_n)=\\=S^2- \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \le \frac{n-1}{n} S^2 \Leftrightarrow \sqrt{\frac 1 n \sum_{i=1}^{n}a_i^2 } \ge \frac S n}\),
co jest prawdą na mocy nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną

zatem
\(\displaystyle{ \left(\frac{a_{1}}{S - a_{1}} + \frac{ a_{2}}{S - a_{2}} + ... + \frac{ a_{n}}{S - a_{n}}\right) \ge \frac{S^2}{ \frac{n-1}{n}S^2 } = \frac{n}{n-1}}\)

Ale sposób timona chyba najprostszy. Mnie bardzo trudno przychodzi na myśl stosowanie sztuczek typu dodanie czegoś stronami.

[Michalinho]

Jest jeszcze jeden sposób. Niech \(\displaystyle{ b_i=\frac{1}{S-a_i}}\). Wtedy nasza nierówność przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \boxed{\sum a_ib_i \ge \frac{n}{n-1}}}\).

Ponieważ: \(\displaystyle{ \boxed{(a_i-a_k)(b_i-b_k)=(a_i-a_k)(\frac{1}{S-a_i}-\frac{1}{S-a_k})=\frac{(a_i-a_k)^2}{(S-a_i)(S-a_k)}\ge 0}}\), więc możemy zastosować nierówność Czebyszewa:
\(\displaystyle{ n\cdot\sum a_ib_i\ge \sum a_i\cdot \sum b_i \Leftrightarrow \sum a_ib_i\ge \sum a_i\cdot \frac{\sum b_i}{n}}\).

Stosujemy teraz nierówność między średnią arytmetyczną i harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{\sum b_i}{n}\ge\frac{n}{\sum \frac{1}{b_i}}=\frac{n}{S(n-1)}}\).
Wstawiając to wyżej otrzymujemy: \(\displaystyle{ \boxed{\sum a_ib_i \ge \frac{n}{n-1}}}\) qed