Rozwiązanie szeregu

[taasmile14]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n ^{2} \sin \frac{1}{n ^{2} }}\)

czy mogę prosić o rozwiązanie tego szeregu? według mnie jest zbieżny jednak nie wiem czy moje rozwiązanie jest dobre

[arek1357]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n ^{2} sin \frac{1}{n ^{2} }}\)

tak lepiej

[Premislav]

0) Wrzuć to w klamry [tex][/tex]
1) Co to jest "rozwiązanie szeregu"? Ja to umiem sobie rozwiązać równanie (nie każde) czy np. buty (ale z zawiązaniem już gorzej), ale szeregu to już nie umiem.
2) Ten szereg nie jest zbieżny, dla \(\displaystyle{ x \in \left[ 0, \frac \pi 2 \right]}\) mamy
\(\displaystyle{ \sin x \ge \frac 2 {\pi} x}\), więc dla \(\displaystyle{ n=1, 2,\ldots}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac 1 {n^2}\right) \ge \frac{2}{\pi \ n^2}}\)
a więc
\(\displaystyle{ n^2 \sin\left( \frac 1 {n^2}\right) \ge\frac 2\pi}\)
i nawet warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony.

[Janusz Tracz]

Zwróć uwagę na znaną granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\) przyjmując w definicji Heinego \(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{n^2}}\) dostajesz natychmiast że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\sin \frac{1}{n^2} }{ \frac{1}{n^2} }=1}\). Co to dla Ciebie oznacza? Znaczy to tyle że od pewnego \(\displaystyle{ n \ge \text{N}}\) wyrazy \(\displaystyle{ n^2 \cdot \sin \frac{1}{n^2}}\) są dowolnie blisko \(\displaystyle{ 1}\) więc \(\displaystyle{ \sum_{n=\text{N}}^{\infty}n^2 \cdot \sin \frac{1}{n^2} \approx 1+1+1+...}\). Wniosek jest teraz porosty, szereg jest rozbieżny.