Obliczyć całkę

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
legolas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 320
Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 146 razy
Pomógł: 3 razy

Obliczyć całkę

Post autor: legolas » 9 wrz 2017, o 23:58

\(\displaystyle{ \oint_{K\left( -1,3\right) }\frac{\overline{z}}{\left( z+j\right)^3 }\dd z}\)

I jeśli dobrze pamiętam, to zarówna \(\displaystyle{ \overline{z}}\) jest holomorficzne, tak jak i każdy wielomian -> czyli ta funkcja jest holomorficzna poza punktem \(\displaystyle{ -j}\)
I generalnie tu się od razu nasuwa wzór Cauchy'ego,

\(\displaystyle{ \oint_{K\left( -1,3\right) }\frac{\overline{z}}{\left( z+j\right)^3 }\dd z=\oint_{K\left( -1,3\right) }\frac{f(z)}{\left( z+j\right)^3 }\dd z=f^{\left( 2\right) }\left( -j\right)\cdot\frac{2\pi j}{2!}}\)

No, ale czym jest pochodna \(\displaystyle{ \overline{z}}\)? Czy \(\displaystyle{ \frac{\partial\overline{z}}{\partial z}=\overline{\left( \frac{\partial z}{\partial z}\right) }}\)?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14514
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 4781 razy

Re: Obliczyć całkę

Post autor: Premislav » 10 wrz 2017, o 00:13

Akurat \(\displaystyle{ \overline{z}}\) wybitnie nie jest holomorficzna i daleko jej do wielomianu.

Można sparametryzować brzeg tego okropieństwa:
\(\displaystyle{ z=-1+3e^{it}, t \in [0,2\pi)}\) i zaliczyć się na śmierć, zapewne istnieje też ładniejsze rozwiązanie. Ale ze wzoru Cauchy'ego tu nie skorzystasz.

ODPOWIEDZ