Sprawdzenie metody

[timus221]

Bardzo proszę o sprawdzenie czy jest to dobra metoda . Z góry dziękuje

\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=2x+y+9 \\ y'=-x+4y \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y=x'-2x+9}\)

\(\displaystyle{ y'=x''-2x'+9'}\)

\(\displaystyle{ x''-2x'+x=4y}\)

\(\displaystyle{ r ^{2}-2r+1=4y}\)

\(\displaystyle{ r ^{2}-2r+1=0}\)
\(\displaystyle{ r_1=1, r_2=1}\)

\(\displaystyle{ x=C_1e^{y}+C_2ye^{y}}\)

y przewidywane
\(\displaystyle{ y=Ay+B}\)
\(\displaystyle{ y'=A}\)
\(\displaystyle{ y''=0}\)

\(\displaystyle{ -2A+Ay+B=4y \Rightarrow A=4,B=8}\)

czyli
\(\displaystyle{ x(y)=C_1e^{y}+C_2ye^{y}+4y+8}\)

\(\displaystyle{ x'(y)=C_1e^{y}+C_2(e^{-y}-ye^{-y})+4}\)

\(\displaystyle{ y(x)=x'-2x+9}\)
\(\displaystyle{ y(x)=C_1e^{y}+C_2(e^{-y}-ye^{-y})+4-2*(C_1e^{y}+C_2ye^{y}+4y+8)+9}\)

[NogaWeza]

Nie chce mi się sprawdzać gdzie jest błąd, ale chyba jest, bo tak pokazuje

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%27%3D2x%2By%2B9,y%27%3D-x%2B4y%7D

. I czy mi się wydaje, czy znowu mieszasz \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ t}\)?

Sama metoda sprowadzenia tego do równania II rzędu jest w porządku. Na pewno w przypadku układu dwóch równań jest szybsza niż metoda macierzowa, bo tam trzeba by było wyznaczyć składową wymuszoną licząc całkę splotową - nie polecam

[timus221]

Tak juz poprawiłem x i t Ale dalej nie mogę się doszukać błędu w trakcie liczenia :/

[NogaWeza]

Z równania pierwszego:
\(\displaystyle{ y = x' - 2x - 9}\)
\(\displaystyle{ y' = x'' - 2x'}\)

Wstawiamy do drugiego:
\(\displaystyle{ x'' - 2x' = -x + 4 (x' - 2x - 9)}\)
Teraz mamy równanie liniowe drugiego rzędu ze stałą prawą stroną, które łatwo rozwiązać.

Nie mam pojęcia dlaczego pojawia się u Ciebie \(\displaystyle{ r ^{2}-2r+1=4y}\), a linijkę później \(\displaystyle{ r ^{2}-2r+1=0}\). Podobnie nie wiem co ma oznaczać \(\displaystyle{ y(x)}\) oraz \(\displaystyle{ x(y)}\). Co prawda mogłoby to oznaczać funkcję uwikłaną czy tam złożoną, ale to przecież jest klasyczny układ równań liniowych, nie ma żadnych powodów, dla których coś takiego miałoby się pojawić w rozwiązaniu... Jeśli Twoja metoda jest poprawna powinieneś dostać ładne rozwiązania \(\displaystyle{ x(t), y(t)}\).