tw. o residuach + osobliwości

[szaki9]

Hej,
przerabiając zadania z punktów osobliwych i całek zespolonych napotkałam się na kilka trudności.

1. Mam zadanie w którym muszę wyznaczyć wszystkie osobliwości funkcji i w przypadku biegunów podać ich krotności.
Funkcja:

\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(1-cos z) ^{2} }}\)

wychodzi mi biegun \(\displaystyle{ = 2k \pi , k \in Z}\)

i potem licząc krotność i korzystając z definicji: Rzędem bieguna \(\displaystyle{ z _{0}}\) funkcji f nazywamy krotność tego punktu jako zera funkcji \(\displaystyle{ G = \frac{1}{f(z)}}\)

wychodzi mi krotności równa 2, w odpowiedziach podają krotność tego bieguna równą 4. Muszę mieć jakiś błąd w rozumowaniu, a nie widzę skąd wynika różnica, pewnie chodzi o coś prostego :<.

2. Mam również zadanie, aby obliczyć całkę

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{1+z ^{4} } dz}\)

która jest liczona po \(\displaystyle{ T _{R}}\) które jest brzegiem wycinka \(\displaystyle{ \left\{ re ^{it}: t \in \left[0, \frac{ \pi }{2} \right] , r \in [0,R] \right\}}\). A potem obliczyć:

\(\displaystyle{ I= \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{1+x ^{4} } dx}\).

Nie wiem jak skorzystać tutaj z tego brzegu i parametryzacji, aby to obliczyć z Tw. o residuach.
Też mam kolejne pytanie, jak zachować się w związku z tym, że ta druga całka (I) jest od 0 do nieskończoności, a nie od minus nieskończoności? Korzystamy tutaj z lematu, który mówi że taka całka jest równa sumie residuów pomnożonej przez \(\displaystyle{ 2 \pi i}\), ale granice są inne niż w tym lemacie.

Każda pomoc będzie super mile widziana siedzę już nad tym trochę i nie umiem dojść do czegoś sensownego.

[NogaWeza]

1) Weźmy \(\displaystyle{ G = (1 - \cos z)^2}\) i rozwińmy w szereg, mamy \(\displaystyle{ G = \left( 1 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \right)^2 =}\)

\(\displaystyle{ = \left( 1 - 1 + \frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{24}z^4 + ... \right)^2 = \left[ z^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{24}z^4 + ... \right) \right]^2 = z^4 \cdot H(z)}\), gdzie \(\displaystyle{ H(0) \neq 0}\)

No i stąd mamy krotność tego zera równą \(\displaystyle{ 4}\), a zatem rząd bieguna funkcja \(\displaystyle{ f}\) też jest \(\displaystyle{ 4}\). Tutaj pokazałem dla \(\displaystyle{ 0}\), ale to się łatwo uogólnia na dowolne inne zera wobec okresowości cosinusa.



2) Tej pierwszej całki nie chce mi się liczyć, ale pomogę z drugą. Można zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1+x ^{4} }}\) jest funkcją parzystą (a odpowiednia z niej całka jest zbieżna), więc \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{ 0 } \frac{1}{1+x ^{4} } \dd x = \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{1+x ^{4} } \dd x}\). Naturalnie jeśli się te całki zsumuje, to \(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{0} + \int_{0}^{\infty} = \int_{\infty}^{\infty} = 2 \int_{0}^{\infty}}\), tak więc \(\displaystyle{ I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} f(x) \dd x}\).
Co do tego typu całek to może zainteresuje Cię ten temat:

[szaki9]

dzięki wielkie za pomoc

co do tej całki, to policzyłam ją z tw. o residuach, rozbijając ten wycinek na 3 części i sumując całki.

tylko w odpowiedziach mam napisane, że \(\displaystyle{ (1-i)I=2 \pi i res _{e ^{ \frac{\pi i }{4} } } f(z)}\)
i trochę nie rozumiem skąd to (1-i) przed wynikiem I, skoro jest tutaj tylko to jedno residuum :/