Wzór kolejnej różnicy

[yaro84]

Mamy wielomian postaci:
\(\displaystyle{ f(x)=b _{0}+b _{1}x ^{\underline{1}}+b _{2}x ^{\underline{2}}+...+b _{k}x ^{\underline{k}}}\)
Liczę kolejno jego różnice \(\displaystyle{ \Delta}\) :
\(\displaystyle{ \Delta f(x)=b _{1}+2b _{2}x ^{\underline{1}}+3b _{3}x ^{\underline{2}}+4b _{4}x ^{\underline{3}} ...+kb _{k}x ^{\underline{k-1}}}\)

\(\displaystyle{ \Delta ^{2} f(x)=2b _{2}+3 \cdot 2b _{3}x ^{\underline{1}}+3 \cdot 4b _{4}x ^{\underline{2}}+4 \cdot 5b _{5}x ^{\underline{3}}+ ...+k(k-1)b _{k}x ^{\underline{k-2}}}\)

\(\displaystyle{ \Delta ^{3} f(x)=3 \cdot 2b _{3}+6 \cdot 12b _{4}x ^{\underline{1}}+12 \cdot 20b _{5}x ^{\underline{2}}+...+k(k-1)(k-2)b _{k}x ^{\underline{k-3}}}\)

\(\displaystyle{ ..............................................}\)

\(\displaystyle{ \Delta ^{i} f(x)=??}\)

\(\displaystyle{ ...............................................}\)

\(\displaystyle{ \Delta ^{k} f(x)=k!b _{k}}\)

Jak wygląda \(\displaystyle{ \Delta ^{i} f(x)=}\) ?? Wymyśli ktoś wzór. Z góry dzięki za pomoc.
Dodam, że\(\displaystyle{ \Delta f(x)=f(x+1)-f(x).}\) Wiem również, że \(\displaystyle{ b _{i}= \frac{\Delta ^{i} f(0)}{i!}}\)

[At123]

chodzi co po prostu o pochodne:
\(\displaystyle{ f(x)= \left(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0\right)
\\f'(x)= = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 \\
...\\
f^n(x)=0}\)
na przykladzie:
\(\displaystyle{ f(x)=x^2+2x+1\\
f'(x)=2x+2\\
f''(x)=2\\
f'^3(x)=0}\)

[yaro84]

Rozumiem, różniczkowanie i różnicowanie dla potęg ubywających jest podobne, ale wzoru nie mogę wymyślić i proszę o pomoc.