Wartość oczekiwana, wariancja

[somas3k]

Witam, prosiłbym was o jakieś wskazówki jak rozwiązywać zadania z gęstościami np:
\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}, \ x>0}\)
albo:
\(\displaystyle{ f(x)=Cx^2e^{-h^2x^2}, \ x \ge 0, \ h - ustalone}\)

Z pierwszej gęstości potrzebuję obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję a z drugiej najpierw C i dalej to samo co w pierwszym. Zwykłe całkowanie dla mnie nie wchodzi w grę gdyż są to całki z \(\displaystyle{ e^{-x^2}}\).

Pomożecie? Potrzebuję tylko wskazówek w jaki sposób to liczyć, samo liczenie możecie zostawić dla mnie. Dzięki z góry.

[NogaWeza]

No wcale nie jest to tak trudne, jak się wydaje. Wartość oczekiwaną tej pierwszej zmiennej losowej można policzyć całkując przez części.

Ukryta treść:    

Dla uproszczenia pominę te stałe, bo od nich nie zależy to czy całkę da się policzyć, czy też nie.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} \dd x}\) -zróżniczkujmy \(\displaystyle{ x}\), a całkujmy \(\displaystyle{ xe^{-x^2}}\), dostajemy
\(\displaystyle{ ... = - \frac{1}{2} xe^{-x^2} |_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \dd x}\), a wynik tej drugiej całki jest znany.

Tak jak mówię, pominąłem stałe, bo je można łatwo zlikwidować podstawieniem. Mnie się nie chciało z tym bawić - w każdym razie całka \(\displaystyle{ \int_{\RR}^{} x^2 e^{Cx^2}}\) jest możliwa do policzenia.

Swoją drogą to, że jest \(\displaystyle{ e^{-x^2}}\) nie znaczy, że całki nie da się policzyć. Przecież wynik całki z tego wyrażenia po \(\displaystyle{ \RR}\) jest znany i to nie w postaci przybliżonej, a dokładnej. Całki oznaczone są bardziej podatne na wszelkiego rodzaju tricki

W drugiej próbowałbym analogicznie - machnąć parę razy przez części i zobaczyć czy gdzieś Cię to zaprowadzi.

[Takahashi]

Wskazówka:

\(\displaystyle{ \int c x^2 e ^{-h^2 x^2} \,\textrm{d} x = \frac{c}{4h^3} \left(\sqrt{\pi} \textrm{erf}(hx) - 2 e ^{-h^2x^2} hx\right)}\),

więc \(\displaystyle{ C = \frac{4h^3}{\sqrt{\pi}}}\).

[somas3k]

Dzięki, już ogarnąłem