Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny
Mam następujące twierdzenie do udowodnienia i proszę o sprawdzenie, czy nie ma niedomówień i czy samo twierdzenie jest poprawne.
Twierdzenie w przestrzeni: Rozważmy prostą \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) takie, że \(\displaystyle{ k \perp \pi}\). Wówczas jeśli \(\displaystyle{ \left| k ^{'} \cap \pi \right| \ge 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k ^{'}}\) jest dowolną prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ k}\), to \(\displaystyle{ k^{'} \in \pi}\).
Dowód: Niech prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\).
Wówczas prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) i płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) nie są równoległe. A ponieważ \(\displaystyle{ k \perp \pi}\), to proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k^{'}}\) nie są prostopadłe. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Twierdzenie w przestrzeni: Rozważmy prostą \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) takie, że \(\displaystyle{ k \perp \pi}\). Wówczas jeśli \(\displaystyle{ \left| k ^{'} \cap \pi \right| \ge 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k ^{'}}\) jest dowolną prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ k}\), to \(\displaystyle{ k^{'} \in \pi}\).
Dowód: Niech prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\).
Wówczas prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) i płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) nie są równoległe. A ponieważ \(\displaystyle{ k \perp \pi}\), to proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k^{'}}\) nie są prostopadłe. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
- Cytryn
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny
Każda prosta, która przecina płaszczyznę w dwóch punktach, musi na niej leżeć w calości, bo jest przez te dwa punkty jednoznacznie wyznaczona. Informacja o tym, że \(\displaystyle{ k'}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ k}\) nie ma znaczenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny
Jak ma więcej niż jeden, to ma co najmu dwa. A jak ma dwa, to leży w płaszczyźnie.
A zapis \(\displaystyle{ k'\in\pi}\) jest niepoprawny.
A zapis \(\displaystyle{ k'\in\pi}\) jest niepoprawny.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny
Oooops, moje komentarze o ilości punktów za bez sensu. Przepraszam.
Założenie nie wprost powinno brzmieć : przypuśćmy, że \(\displaystyle{ k'}\) nie leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\)....
Założenie nie wprost powinno brzmieć : przypuśćmy, że \(\displaystyle{ k'}\) nie leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\)....