Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: WolfusA » 18 sie 2017, o 10:26

Mam następujące twierdzenie do udowodnienia i proszę o sprawdzenie, czy nie ma niedomówień i czy samo twierdzenie jest poprawne.

Twierdzenie w przestrzeni: Rozważmy prostą \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) takie, że \(\displaystyle{ k \perp \pi}\). Wówczas jeśli \(\displaystyle{ \left| k ^{'} \cap \pi \right| \ge 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k ^{'}}\) jest dowolną prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ k}\), to \(\displaystyle{ k^{'} \in \pi}\).

Dowód: Niech prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\).
Wówczas prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) i płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) nie są równoległe. A ponieważ \(\displaystyle{ k \perp \pi}\), to proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k^{'}}\) nie są prostopadłe. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: jutrvy » 23 sie 2017, o 01:54

Twierdzenie jest prawdziwe, dowód nie. Sprzeczność z czym? o_O

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: WolfusA » 23 sie 2017, o 07:54

Z założeniem, że prosta \(\displaystyle{ k ^{'}}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ k}\). Napisałem to założenie.

Awatar użytkownika
Cytryn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: Cytryn » 23 sie 2017, o 08:31

Każda prosta, która przecina płaszczyznę w dwóch punktach, musi na niej leżeć w calości, bo jest przez te dwa punkty jednoznacznie wyznaczona. Informacja o tym, że \(\displaystyle{ k'}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ k}\) nie ma znaczenia.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: WolfusA » 23 sie 2017, o 08:38

W założeniu jest informacja, o co najmniej jednym punkcie wspólnym, a nie dwóch

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18149
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3062 razy

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: a4karo » 23 sie 2017, o 08:50

A czy może mieć półtora punktu wspólnego?

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: WolfusA » 23 sie 2017, o 09:01

Nie, ale może mieć równie dobrze tylko jeden i to zakładam w założeniu nie wprost.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18149
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3062 razy

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: a4karo » 23 sie 2017, o 12:45

Jak ma więcej niż jeden, to ma co najmu dwa. A jak ma dwa, to leży w płaszczyźnie.

A zapis \(\displaystyle{ k'\in\pi}\) jest niepoprawny.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: WolfusA » 23 sie 2017, o 18:12

Tak, taki zapis jest niepoprawny. Moja pomyłka. Już poprawiam, proszę bardzo: \(\displaystyle{ k^{'} \subset \pi}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18149
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3062 razy

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

Post autor: a4karo » 24 sie 2017, o 07:10

Oooops, moje komentarze o ilości punktów za bez sensu. Przepraszam.

Założenie nie wprost powinno brzmieć : przypuśćmy, że \(\displaystyle{ k'}\) nie leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\)....

ODPOWIEDZ