[Stereometria] Czworościan i 4 proste z punktem wspólnym

[WolfusA]

W czworościanie \(\displaystyle{ A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}\) punkty \(\displaystyle{ M_{i}}\) oraz \(\displaystyle{ H_{i}}\) oznaczają środek ciężkości i ortocentrum ściany leżącej naprzeciw wierzchołka \(\displaystyle{ A_{i}}\) \(\displaystyle{ (i=1,2,3,4)}\). Udowodnij, że jeżeli proste prostopadłe do ścian i przechodzące przez punkty \(\displaystyle{ M_{i}}\) przecinają się w jednym punkcie, to prostopadłe do tych ścian i przechodzące przez punkty \(\displaystyle{ H_{i}}\) \(\displaystyle{ (i=1,2,3,4)}\) także przecinają się w jednym punkcie.

[timon92]

zaznacz sobie jeszcze środek sfery opisanej na tym czworościanie i środki okręgów opisanych na ścianach

[WolfusA]

Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem sfery opisanej, \(\displaystyle{ O_{i}}\) środkiem okręgu opisanego na ścianie, leżącej naprzeciw wierzchołka \(\displaystyle{ A_{i}}\), zaś punkt \(\displaystyle{ M}\) będzie punktem przecięcia prostych prostopadłych do ścian czworościanu i przechodzących przez punkty \(\displaystyle{ M_{i}}\).
W każdej ścianie punkty \(\displaystyle{ H_{i}, O_{i}, M_{i}}\) są współliniowe (prosta Eulera). Punkt \(\displaystyle{ O_{i}}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ O}\) na płaszczyznę ściany, nie zawierającej punktu \(\displaystyle{ A_{i}}\), zaś \(\displaystyle{ M_{i}}\) punktu \(\displaystyle{ M}\) na tę płaszczyznę, więc prosta \(\displaystyle{ O_{i}M_{i}}\) jest rzutem prostokątnym prostej \(\displaystyle{ OM}\) na tę płaszczyznę. Stąd, na prostej \(\displaystyle{ OM}\) istnieje punkt \(\displaystyle{ H_{i} ^{'}}\), którego rzut prostokątny na płaszczyznę leżącą naprzeciw punktu \(\displaystyle{ A_{i}}\) jest punkt \(\displaystyle{ H_{i}}\) (rzut prostokątny zachowuje współliniowość punktów). Pozostaje udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ H_{i} ^{'}}\) nakładają się na siebie i są jednym punktem. Rzut prostokątny zachowuje stosunek długości odcinków i własności prostej Eulera mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{3} =\frac{M_{i}O_{i}}{H_{i}O_{i}}= \frac{MO}{H_{i} ^{'}O}}\). (Tu nie jestem pewny na 100%) Na prostej Eulera punkty są ułożone w kolejności: ortocentrum, środek okręgu 9 punktów, środek ciężkości, środek okręgu opisanego, więc punkty \(\displaystyle{ H_{i} ^{'}}\) są wszystkie ułożone na półprostej \(\displaystyle{ OM ^{\rightarrow }}\) to, ze względu na \(\displaystyle{ H_{i} ^{'}O=3MO}\), zachodzi \(\displaystyle{ H_{1} ^{'}=H_{2} ^{'}=H_{3} ^{'}=H_{4} ^{'}}\) QED

Chyba dobrze

[marcin7Cd]

Tu wystarczy zrobić jednokładność względem punktu \(\displaystyle{ O}\) o skali \(\displaystyle{ 3}\) i wtedy prosta \(\displaystyle{ M_iM}\) przechodzi na prostą\(\displaystyle{ H_iH}\), gdzie \(\displaystyle{ H}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ M}\). Zachowujemy też prostopadłość tych prostych do ściany czworościany.

[WolfusA]

Sprawdziłem, ta kolejność punktów na prostej Eulera, którą napisałem, jest zgodna ze stanem faktycznym. Tak, jednokładność też działa (twierdzenie Talesa również), choć rozwiązanie nie zmienia się prawie wcale. Ale czy przypadkiem ta jednokładność nie powinna być względem punktu przecięcia się prostych \(\displaystyle{ OM}\) i \(\displaystyle{ O_{i}M_{i}}\)? Bo skąd w takim razie pewność, że punkty \(\displaystyle{ O, M_{i}, H_{i}}\) są współlininiowe (warunek konieczny by korzystać z jednokładności w tym przypadku, względem punktu \(\displaystyle{ O}\))?

[marcin7Cd]

punkty \(\displaystyle{ O,M_i,H_i}\) nie muszą być współliniowe, bo my patrzymy na obrazy prostych \(\displaystyle{ M_iM}\), więc wystarczy aby prosta \(\displaystyle{ M_iM}\) oraz punkty \(\displaystyle{ H_i,O}\) leżały na jednej płaszczyźnie( oraz był odpowiedni stosunek odległości). To zachodzi,bo płaszczyzna przechodząca przez prostą eulera i prostopadła do danej ściany spełnia ten warunek. (wystarczy narysować co jest na tej płaszczyźnie i wtedy łatwo widać tą jednokładność).


Tak przy okazji można podobnie udowodnić, że w trójkącie \(\displaystyle{ H}\)ortocentrum,\(\displaystyle{ G}\)środek ciężkości, \(\displaystyle{ O}\)środek okręgu opisanego są współliniowe. Wystarczy zrobić jednokładność względem \(\displaystyle{ G}\) o skali \(\displaystyle{ -2}\) wtedy symetralna przechodzi na wysokość(właściwie prostą przez nią). A przecięcie prostych w jednokładności przechodzi na przecięcie obrazów prostych. Oznacza to, że \(\displaystyle{ O}\)(przecięcie symetralnych) przechodzi na \(\displaystyle{ H}\)(przecięcie wysokości).