ciąg rekurencyjny
-
- Użytkownik
- Posty: 276
- Rejestracja: 7 cze 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 38 razy
ciąg rekurencyjny
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) taki że \(\displaystyle{ \begin{cases} a_0=1\\ a_{n+1}=\log_3(\sqrt[3]{a_n^3+1})+\frac{4}{3} \end{cases}.}\) Wykaż że jest zbieżny
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Re: ciąg rekurencyjny
Pokaż, że ten ciąg jest
1) rosnący
2) ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 2}\)
1) rosnący
2) ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 2}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: ciąg rekurencyjny
Wskazówka do 1): prosta indukcja po \(\displaystyle{ n}\) plus obserwacja, że \(\displaystyle{ (a_n)}\) ma wyłącznie wyrazy dodatnie (jak chcesz być super formalny, to też indukcyjnie ten fakcik można wykazać). Otrzymasz coś w stylu
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\log_3\left( \text{ coś większego od 1}\right) >0}\)
Wskazówka do 2):
użyj jakichś znanych nierówności z logarytmem.
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\log_3\left( \text{ coś większego od 1}\right) >0}\)
Wskazówka do 2):
użyj jakichś znanych nierówności z logarytmem.