Krzywa łańcuchowa

[f16]

Przy danym równaniu całkowym \(\displaystyle{ \int \frac{C}{\sqrt{y^2-C^2}}dy=\int dx}\) otrzymuje jako rozwiązanie równanie \(\displaystyle{ C \cdot \ln( y + \sqrt{y^{2}-C^{2}}) = x+C_{1}}\). Jednak nie wiem, w którym miejscu robię błąd chcąc wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\).

Kolejne kroki:

\(\displaystyle{ \ln( y + \sqrt{y^{2}-C^{2}}) = \frac{x+C_{1}}{C}}\)
\(\displaystyle{ y + \sqrt{y^{2}-C^{2}} = \exp \left({\frac{x+C_{1}}{C}}\right)}\)
\(\displaystyle{ y^{2}-C^{2} = \left(\exp \left({\frac{x+C_{1}}{C}}\right)-y\right)^2}\)
\(\displaystyle{ \exp \left(2 \cdot {\frac{x+C_{1}}{C}}\right)-2y\cdot\exp \left({\frac{x+C_{1}}{C}}\right)=-C^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2y\cdot\exp \left({\frac{x+C_{1}}{C}}\right)=\exp \left(2 \cdot {\frac{x+C_{1}}{C}}\right)+C^{2}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}\left(\exp \left({\frac{x+C_{1}}{C}}\right)+\frac{C^{2}}{\exp \left({\frac{x+C_{1}}{C}}\right)}\right)}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{\exp \left({\frac{x+C_{1}}{C}}\right)+C^{2}\cdot\exp \left(-{\frac{x+C_{1}}{C}}\right)}{2}}\)

Powinno wyjść jednak \(\displaystyle{ y=C\cosh\frac{x+C_1}{C}}\)
czyli\(\displaystyle{ y=C \cdot \frac{\exp \left({\frac{x+C_{1}}{C}}\right)+\exp \left(-{\frac{x+C_{1}}{C}}\right)}{2}}\), gdyż jest to równanie krzywej łańcuchowej.

Będę wdzięczny za wskazówki.

[Benny01]

Twoja całka po lewej stronie jest równa \(\displaystyle{ C \cdot \arcosh \frac{y}{c}}\).
Masz więc \(\displaystyle{ C \cdot \arcosh \frac{y}{c}=x+C_1}\)
\(\displaystyle{ \arcosh \frac{y}{c}=\frac{x+C_1}{C}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{c}=\cosh \frac{x+C_1}{C}}\)
\(\displaystyle{ y= C \cdot \cosh \frac{x+C_1}{C}}\)

[f16]

Okej. Dlaczego w takim razie moje rachunki nie doprowadzają do tej postaci? Czy któreś przejście nie jest równoważne?

[Mariusz M]

Ale tobie wyszło to co powinno

[f16]

Mi wychodzi taka postać:
\(\displaystyle{ y=\frac{\exp \left({\frac{x+C_{1}}{C}}\right)+C^{2}\cdot\exp \left(-{\frac{x+C_{1}}{C}}\right)}{2}}\)
Przez \(\displaystyle{ C^{2}}\) stojące przy jednym tylko ze składników nie mogę tego zwinąć w cos hiperboliczny.

[Mariusz M]

Twoja pierwotna po lewej różni się od area cosinusa hiperbolicznego o stałą

\(\displaystyle{ C \cdot\left( \ln{\left| y + \sqrt{y^{2}-C^{2}}\right|}+C_{2}\right) = x+C_{1}}\)

a następnie wyznacz stałą \(\displaystyle{ C_{2}}\)

[f16]

Mógłbyś napisać równanie, z którego mam wyznaczyć \(\displaystyle{ C_{2}}\) ? Zakładam, że z tego co napisałeś mam wyliczyć \(\displaystyle{ y}\) ?!

[Mariusz M]

Tak z tego równania wyznacz \(\displaystyle{ y}\)
a następnie wyraź stałą \(\displaystyle{ C_{2}}\) za pomocą stałych \(\displaystyle{ C}\) oraz \(\displaystyle{ C_{1}}\)

[f16]

Wyznaczyłem \(\displaystyle{ y}\), ale problem jest analogiczny jak w pierwszym poście (tzn. nie mogę zwinąć wyrażenia w cos h przez stałą \(\displaystyle{ C^2}\), która zostaje w jednym ze składników). Nie wiem też na podstawie czego mam wyrazić stałą \(\displaystyle{ C_2}\) za pomocą stałych \(\displaystyle{ C}\) oraz \(\displaystyle{ C_{1}}\).