Metoda Manabrea-Castigliano i zmienny moment bezwładności

[omni]

Witam.
Pierwszy wpis, więc przede wszystkim "witam" tak ogólnie, a nie, że tak tylko akurat dzisiaj

Analizuję belkę jak na załączonym obrazku
(jeśli są tu jacyś rysunkowi konserwatyści, to z góry przepraszam za pomieszanie stylu schematu z rzutem).
Głównym celem jest wyznaczenie ugięcia.

Belka symetryczna względem zaznaczonej osi, składa się w uproszczeniu z dwóch blach bocznych i środnika. Ma też kilka innych wstawek oraz otworów, ale te pominąłem na załączonym obrazku ze względu na nieistotność w tym momencie.
Ogólnie, przemieszczając się od jednego utwierdzenia do drugiego, występuje pięć różnych momentów bezwładności przekrojów (upraszczam na razie zmienność momentu w tych "skosach").

Temat "nadgryzłem" metodą Menabrea-Castigliano.
Do wyznaczenia reakcji początkowo zastosowałem zależności z tablic wytrzymałościowych Niezgodzińskich - tab. 5.4, punkt 4 (przepraszam za brak skanu, ale nie jest on na razie ważny). Później skorzystałem jeszcze z twierdzenia Castigliano i otrzymałem identyczne wyniki jak w tablicach (więc chyba dobrze).

Wyznaczając ugięcie (oczywiście maksymalne, w osi symetrii "pod siłą") doszedłem do następującej postaci:

\(\displaystyle{ u= \frac{1}{E}\int_{0}^{L}\frac{1}{I_{z} (x _{1} )}\left( - \frac{1}{4}FL + \frac{1}{2}Fx_{1} \right)\left(- \frac{1}{4}L+ \frac{1}{2}x_{1}\right) dx_{1} + \frac{1}{E}\int_{0}^{L}\frac{1}{I_{z} (x _{2} )}\left(\frac{1}{4}FL-\frac{1}{2}Fx_{2} \right)\left(\frac{1}{4}L- \frac{1}{2}x_{2}\right) dx_{2}}\)

gdzie L to pół długości belki, a moment bezwładności przekroju \(\displaystyle{ I_{z}(x)}\) będzie przyjmował (upraszczając kwestię "skosów") pięć wartości.

I tu moje pytanie:
co dalej zrobić z tym \(\displaystyle{ I_{z}(x)}\)?
Jak to całkować i czy w ogóle się da, skoro jest to funkcja z dyskretnym zbiorem własności?

[kruszewski]

Tu \(\displaystyle{ I_{z}(x)}\) oznacza miarę momentu bezwładności w przekroju o odciętej \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ I_z(x_1)}\) to moment bezwładności przekroju w pierwszym przedziale.
Granice całkowania są nie takie, bo pierwszy przedział ma długość od \(\displaystyle{ 0 \ do \ x_1}\)
zaś drogi od \(\displaystyle{ x_1 \ do \ L}\)

Mam wrażenie, że ugięcie belki o takiej zmienności przekroju trzeba rozwiązać innym sposobem. Chyba najprościej będzie zastosować superpozycję.

[omni]

Tu \(\displaystyle{ I_{z}(x)}\) oznacza miarę momentu bezwładności w przekroju o odciętej \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ I_z(x_1)}\) to moment bezwładności przekroju w pierwszym przedziale.
Granice całkowania są nie takie, bo pierwszy przedział ma długość od \(\displaystyle{ 0 \ do \ x_1}\)
zaś drogi od \(\displaystyle{ x_1 \ do \ L}\)

no tak, ale zmienna w przedziale pierwszym: \(\displaystyle{ x_{1}}\), zmienia się od 0 do L (L to połowa długości belki)
i podobnie zmienna w przedziale drugim: \(\displaystyle{ x_{2}}\) - także \(\displaystyle{ \in\left\langle 0;L\right\rangle}\);
w obrębie każdego z przedziałów, moment bezwładności przekroju będzie się zmieniał (w moim przypadku przyjmie pięć określonych wartości);
ze względu na sposób układania równania na energię całkowitą belki, nie da się chyba wydzielić więcej, niż dwa przedziały (występuje jedna siła, wydzielająca te dwa przedziały)?

Mam wrażenie, że ugięcie belki o takiej zmienności przekroju trzeba rozwiązać innym sposobem. Chyba najprościej będzie zastosować superpozycję.

jak by to miało wyglądać?
musiał bym rozważyć pięć osobnych przypadków (tyle ile mam momentów bezwładności), z czego każdy jako belkę o stałym \(\displaystyle{ I_{z}}\), a następnie otrzymane ugięcia zsumować?
czy można tak w ogóle?
czy też raczej "idąc" od środka symetrii w kierunku utwierdzenia, wycinać kolejne przedziały/odcinki (w sumie będzie pięć) i obliczać ich ugięcia i dopiero te sumować (w tych "skosach" belki mogę opisać \(\displaystyle{ I_{z}}\) funkcją liniową) ?

a tu schemat obliczeniowy, jaki przyjąłem:

[kruszewski]

Tu przedziały są wyznaczane nie przez przekroje w których przyłożone sa obciążenia a zmiana przekroju belki i ego zmienność po długości przedziału należy wyrazić (powiązać z \(\displaystyle{ J_{x,L}}\) ) względem przekroju w połowie belki, tak, by można było \(\displaystyle{ J_{x,L}}\) wyprowadzić przed znak całki.-- 7 sie 2017, o 20:28 --Przyznaję, że nie spotkałem w podrącznikach nauki o wytrzymalości i teorii sprężystości rozwiazania ścisłego takiego przypadku. Jak siły pozwolą przeglądnę prace M.T. Hubera pod tym kątem. Ale rozwiązanie ścisłe wydaje się być trudne bo:
1. Wzory, równania na podstawie których są one wyprowadzane są przy założeniu krzywizny płaszczyzny obojętnej przekroju belki wcześniej będącą "płaską". Co jest konsekwencją jednakowych przekrojów poprzecznych.
2. Płaszczyzna obojętna wyznaczona przez osie obojętne przekrojów poprzecznych belki o zmiennej wysokości, (ogólnie zmiannym głównym momencie bezwładności ) nie jest płaską przed obciążeniem. Zatem równanie ogólne

\(\displaystyle{ \frac{1}{\rho} = \frac{M}{EJ}}\)

musi być stosowane lokalnie przedziałami i zachowniem równości kątów obrotu przekrojów na granicach przedziałów.
Jeżeli do tego moment bezwładności \(\displaystyle{ J}\) jest zmienny po długości, to sprawa krzywizny staje się trudna.

Wyginana jest bowiem nie "płaska" taśma a już wygięta.
A od lokalnej krzywizny zależą lokalne naprężenia normalne w przekroju, a te określają odkształcenie i w konsekwencji energię sprężystą a ta przemieszczenia.
Do złożoności problemu dodają się efekty zginania siłą normalną, bo belka jest utwierdzona w podporach. ( Teoria zginania II rzędu).
Jakieś informacje można chyba znaleźć w wytycznych do projektowaniia ustrojów nożnych suwnic. Tam sa stosowane takie belki, co prawca nie utwierdzone i z krótkimi przedziałami o zmiennych wysokościach przekrojów, ale nie mam dostępu do tych wytycznych.
To tyle na ten temat po głębszym jego przemyśleniu.
W.Kr.

[omni]

A czy można by było w takim razie jakoś przynajmniej w przybliżeniu rozwiązać taki układ?

Czy na przykład, jak padło wcześniej, rozbijając cały układ na pięć cząstkowych i kolejno je rozwiązywać?

Spróbowałem w taki sposób:

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/4C1R/

, ale chyba jest to błędne podejście, ponieważ reakcja momentu w podporze wychodzi \(\displaystyle{ M_{1}=\frac{1}{2}F\left(l_{1}+l_{2}+l_{3}+l_{4}+ \frac{1}{4} l_{5} \right)}\), podczas gdy wyznaczając reakcje dla całej belki, moment przyjmuje postać \(\displaystyle{ M_{1}=\frac{1}{4}F\left(l_{1}+l_{2}+l_{3}+l_{4}+ \frac{1}{2} l_{5} \right)}\)

Czy to wynika z błędnego podejścia do problemu, czy z mojego błędu obliczeniowego?

Także skojarzyłem ten przypadek z dźwigarem suwnicy, ale również nie mam dostępu do jakiejkolwiek literatury na ten temat.

[kruszewski]

Jeżeli nie uwzględniać wplywu składowych poziomych reakcji w podporach (utwierdzenie obu końców belki) na zginanie belki, co równało by się prostej osi belki nie obciążonej, to rozwiązanie można łatwo uzyskać metodą "momentów wtórnych" przyjmując zmienny i ciągły współczynnik redukcji w przedziele o zmiennej wysokości przekroju, i stałym na przedziale między tymi przekrojami oraz korzystając z ułatwienia będącego wynikiem symetrii. Ugięcia dla poszczególnych odciętych możnż obliczyć używając jednostkowych sił fikcyjnych przykładanych w tych przekrojach i jak pamiętamy, w końcowym równaniu przyjmujemy je jako zerowe bo ich tam w rzeczywistych warunkach nie ma.
Vide:

Kod: Zaznacz cały

http://kmm.p.lodz.pl/dydaktyka/zb_zad/WM0504.pdf