Naszkicuj wykres funkcji tg i wyznacz zbiór rozwiazań nierów

[Wulgar]

Mam pewien problem z rozwiązaniem tej nierówności nie wiem od czego zacząć - w miejsce X coś wstawić ?

\(\displaystyle{ f(x) = \left| \tg ( \frac{ \pi }{2} - x)\right| - 1}\)
gdzie \(\displaystyle{ \ x \in \ ( -2 \pi , - \pi ) \cup ( - \pi , 0 ) \cup (0, \pi )}\)

a) Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ f \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right) < 0}\)

[kmarciniak1]

\(\displaystyle{ f \left( x+ \frac{ \pi }{4}\right) =\left| \tg( \frac{ \pi }{2}-(x+ \frac{ \pi }{4}) \right| -1=\left| \tg( \frac{ \pi }{4}-x) \right| -1}\)

Czyli nierówność przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \left| \tg \left( \frac { \pi }{4}-x \right) \right|<1}\)

Teraz narysuj lewą stronę.
wskazówka
\(\displaystyle{ \tg \left( \frac { \pi }{4}-x\right) =\tg\left(- (x- \frac{ \pi }{4}) \right)}\)
Skorzystaj teraz z nieparzystości \(\displaystyle{ \tg}\) a następnie z własności \(\displaystyle{ \left|a \right|= \left|-a \right|}\)

[janusz47]

Ze wzoru redukcyjnego

\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{\pi}{2}-x \right) = ctg(x).}\)

\(\displaystyle{ f(x) = | \ctg(x)| -1}\)

\(\displaystyle{ f \left(x+\frac{\pi}{4}\right) < 0}\)

\(\displaystyle{ \left |ctg\left(x +\frac{\pi}{4}}\right) \right |< 1.}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ X:= x +\frac{\pi}{4}.}\)

Rysujemy wykres funkcji \(\displaystyle{ |\ctg(X)|}\) w podanych przedziałach (pamiętamy, że fragmenty kosinusoidy znajdujące się poniżej osi Ox przenosimy symetrycznie nad oś.)

Na podstawie wykresu funkcji \(\displaystyle{ |\ctg(X)|}\) rozwiąujemy nierówność \(\displaystyle{ \ctg(X) <1}\) (1)
dla \(\displaystyle{ x\in ( -2\pi, -\pi) \cup (-\pi, 0) \cup (0, \pi).}\)

Dodajemy wartość \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) do każdego z końców przedziałów rozwiązań nierówności (1).

Drugi sposób

Rozwiązujemy graficznie nierówność \(\displaystyle{ |\tg(3\pi/4 - x)|< 1}\) w podanych przedziałach.

[Wulgar]

Dzieki Panowie

[janusz47]

Oczywiście \(\displaystyle{ x = X -\frac{\pi}{4}}\) - korekta - odejmujemy liczbę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) od każdego z końców z trzech otrzymanych przedziałów po rozwiązaniu nierówności (1).