Ciąg rekurencyjny; skąd wynika wzór na n-ty wyraz?

[kumnopek1]

\(\displaystyle{ a_1 = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a_2 = \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ a_n = \sqrt{2+\sqrt{2 + \sqrt{2 + ... \sqrt{2}}}} = 2*\cos( \frac{\pi}{2^{n}})}\)

skąd wynika ten wzór na n-ty wyraz? wie ktoś może?

(podkreślam, że nie chodzi mi to o dowód poprawności, bo to klasyka indukcji)

[Kartezjusz]

W tym wypadku skorzystaj ze wzorów na cosinus połówkowy(o to chodziło?)

[kumnopek1]

W tym wypadku skorzystaj ze wzorów na cosinus połówkowy(o to chodziło?)

nie, dowód umiem zrobić i jest prościutki;

zastanawiam się tylko skąd ten wzór wynika (wydaje mi się, że kiedyś coś czytałem o tym na jakiejś angielskiej stronie)

[Zordon]

Bierze się z trygonometrii, a znając indukcyjny dowód poprawności, można go też wyprowadzić, postępując niejako na odwrót.