[Nierówności] Nierówność z elementem maksymalnym

[kluczyk]

Wyznacz największą liczbę \(\displaystyle{ a}\), dla której spełniona jest nierówność dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{1},...,x_{5}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2} \ge a \cdot (x_{1} \cdot x_{2}+x_{2} \cdot x_{3}+x_{3} \cdot x_{4}+x_{4} \cdot x_{5})}\)

[Qń]

Niepoprawne rozwiązanie:    

Wskazówka: skoro nierówność ma być spełniona dla dowolnych liczb rzeczywistych, to w szczególności dla \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=1}\), czyli \(\displaystyle{ 5 \geq 5a}\), więc \(\displaystyle{ a}\) jest co najwyżej jedynką. A żeby udowodnić, że dla jedynki jest dobrze, wystarczy pomnożyć stronami przez dwa, przenieść na jedną stroną i odpowiednio pogrupować, zwijając w sumę kwadratów.

EDIT: Rzeczywiście, źle przeczytałem treść zadania. W faktycznej wersji wygląda na sporo trudniejsze.

Q.

[Zordon]

Qń, też tak myślałem, ale byłem zmuszony usunąć posta bo po prawej są 4 składniki w sumie

[kluczyk]

Doszedłem do takich samych wniosków i po jakiejś tam próbie pogrupowania nie za bardzo to było oczywiste, że\(\displaystyle{ a=1}\)...

[andkom]

Dla \(\displaystyle{ a=\frac2{\sqrt3}}\) (które jest tym szukanym a) nasza nierówność przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \left(x_1-\frac1{\sqrt3}x_2\right)^2
+\left(\sqrt{\frac23}x_2-\frac1{\sqrt2}x_3\right)^2+\\
+\left(\frac1{\sqrt2}x_3-\sqrt{\frac23}x_4\right)^2
+\left(\frac1{\sqrt3}x_4-x_5\right)^2\geqslant0}\)


Ogólnie, gdy piątkę zastąpimy przez dowolne n i będziemy patrzeć na
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nx_k^2\geqslant a\sum_{k=1}^{n-1}x_kx_{k+1}}\)
wówczas szukanym a będzie \(\displaystyle{ \frac1{\cos\frac\pi{n+1}}}\).

[kumnopek1]

Ogólnie, gdy piątkę zastąpimy przez dowolne n i będziemy patrzeć na
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nx_k^2\geqslant a\sum_{k=1}^{n-1}x_{k-1}x_{k+1}}\)
wówczas szukanym a będzie \(\displaystyle{ \frac1{\cos\frac\pi{n+1}}}\).

skąd to?

[andkom]

Ogólnie, gdy piątkę zastąpimy przez dowolne n i będziemy patrzeć na
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nx_k^2\geqslant a\sum_{k=1}^{n-1}x_kx_{k+1}}\)
wówczas szukanym a będzie \(\displaystyle{ \frac1{\cos\frac\pi{n+1}}}\).

skąd to?

Stąd, że dla \(\displaystyle{ a=\frac1{\cos\frac\pi{n+1}}}\) nierówność \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nx_k^2\geqslant a\sum_{k=1}^{n-1}x_kx_{k+1}}\) jest równoważna nierówności
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}\left(\sqrt{\frac{\sin\frac{(k+1)\pi}{n+1}}{2\cos\frac\pi{n+1}\sin\frac{k\pi}{n+1}}}x_k-\sqrt{\frac{\sin\frac{k\pi}{n+1}}{2\cos\frac\pi{n+1}\sin\frac{(k+1)\pi}{n+1}}}x_{k+1}\right)^2\geqslant0}\),
przy czym równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ x_k=A\sin\frac{k\pi}{n+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ A\in\mathbb R}\) nie zależy od k.

[Dasio11]

Jak ty na to wpadłeś?? :O