zbieżność szeregu

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 »

Hej, proszę o wskazówkę jak zbadać zbieżność takich szeregów.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos in}{2^{n}}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n-i}{n}\right)^{n}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: a4karo »

Warunek konieczny
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 »

Ok ale dalej nie wiem jak to rozwiązać. Co zrobić z tą jednostką urojoną w argumencie cosinusa ?
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: NogaWeza »

Jakie znasz definicje cosinusa?
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 »

Ok poradziłam sobie z pierwszym przykładem. A jak rozwiązać drugi ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

a4karo już podpowiedział: sprawdź warunek konieczny zbieżności.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{z}{n} \right)^n=e^z}\) również dla \(\displaystyle{ z \in \CC}\)
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 »

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n-i}{n}\right)^{n}=\lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{-i}{n} \right)^{n}=e^{-i}}\)
I jaki wniosek z tego płynie ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ e^{-i}\neq 0}\), więc warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony (wyrazy powinny dążyć do zera).
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 »

Dzięki .Jeszcze mam pytanie odnośnie takiej granicy, którą wykorzystuje do liczenia promienia zbieżności szeregu
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| n+i^{n}\right| }=1}\)
Jak to uzasadnić ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ n-1\le |n+i^n|\le n+1}\)
i można z twierdzenia o trzech ciągach.
Taką granicę: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} =1}\) pewnie znasz...
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Re: zbieżność szeregu

Post autor: Karolina93 »

ok dzięki
ODPOWIEDZ