Znaleźć środek ciężkości

[sorcerer123]

Niech \(\displaystyle{ D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: 5x-y^2 \le 0 \le y; (x-5)^2 + y^2 \le 25 \}}\).

Znaleźć pole zbioru \(\displaystyle{ D}\) oraz środek ciężkości, zakładając, że jest on jednorodny.


A więc, narysowałem ten zbiór, np. tu: i obliczyłem może dość niekonwencjonalnie jego pole w sposób następujący:

\(\displaystyle{ P = \int_{0}^{5}dy \int_{0}^{ \frac{y^2}{5} } dx - \left(5^2 - \frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi } d \phi \int_{0}^{5} r dr \right) = \frac{25}{3} -25+ \frac{25}{4} \pi}\).

Proszę o sprawdzenie.

Niestety nie wiem, jak wyznaczyć środek ciężkości. Proszę o pomoc.

[SlotaWoj]

Narysowałeś jedynie pół zbioru. Cały jest taki:
}
Ze względu na znaki użyte w linku, trzeba przez kopiuj i wklej.

[sorcerer123]

Nie rozumiem tego komentarza. Mam dobrze narysowany zbiór, ponieważ \(\displaystyle{ y \ge 0}\).

Bardzo proszę o pomoc w wyznaczeniu środka ciężkości.

[Mr_Green]

środek ciężkości czegokolwiek to jest taki punkt w którym suma elementarnych momentów wynosi zero. Przyjmij sobie, że masz płytę o grubości i gęstości jeden. Osobną będziesz miał całkę na x i y. Taka wiedza mi kiedyś zawsze wystarczała na środki ciężkości czegokolwiek xd Nic nie trzeba pamiętać wtedy.

[SlotaWoj]

@sorcerer123 Sorry. Przeoczyłem warunek \(\displaystyle{ y\ge0}\) .

x-wa współrzędna środka ciężkości powierzchni:

• \(\displaystyle{ x_c=\frac{\int_A x(A)\, dA}{\int_A dA}}\)

W liczniku jest tzw. moment statyczny powierzchni, a w mianowniku pole.

Podobnie będzie z y-kową współrzędną.

Pole obliczyłeś źle, bo niepotrzebnie pomieszałeś współrzędne kartezjańskie i biegunowe. Ma być takie:

• \(\displaystyle{ \int_0^5 \frac{y^2}{5}-\sqrt{25-y^2}-5\,dy=...}\)

[sorcerer123]

Pole obliczyłeś źle, bo niepotrzebnie pomieszałeś współrzędne kartezjańskie i biegunowe. Ma być takie:

• \(\displaystyle{ \int_0^5 \frac{y^2}{5}-\sqrt{25-y^2}-5\,dy=...}\)

Chyba jednak nie takie, bo w tym przypadku wychodzi ujemne:

Wystarczy poprawić granice całkowania?