Znaleźć funkcję holomorficzną

[legolas]

...\(\displaystyle{ f(z)}\), jeżeli jej część urojona \(\displaystyle{ v(x,y)=4x^3y-4xy^3+1}\) i \(\displaystyle{ f(j)=1+j}\)

\(\displaystyle{ f(x,y)=u(x,y)+jv(x,y) \\ f(j)=u(0,1)+1\cdot j \Rightarrow u(0,1)=1}\)

i z warunków RC

\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=4x^3-12xy^2 \rightarrow u(x,y)=\int4x^3-12xy^2\dd x=x^4-6x^2y^2+C(y) \\ C(y)=\int(-4y^3)\dd y = -y^4+C_0 \\ u(x,y)_=x^4-6x^2y^2-y^4+C_0 \\ u(0,1)=0-0-1+C_0=1 \rightarrow C_0=2 \\ \\ f(x,y)=x^4-6x^2y^2-y^4+1+j\left( 4x^3y-4xy^3+2\right)}\)

Tak to ma wyglądać?

[Premislav]

\(\displaystyle{ C(y)=\int(-4y^3)\dd y = -y^4+C_0}\)

A to przepraszam skąd wziąłeś?

Jak najbardziej jest to zadanie na równania Cauchy'ego-Riemanna.
Ja to robiłem tak:
z warunku \(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}}\)
mam
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} =4x^3-12xy^2}\)
zatem \(\displaystyle{ u(x,y)= \int_{}^{} \left( 4x^3-12xy^2\right)\,\dd x=x^4-6x^2y^2+C_1(y) \ (1)}\),
zaś z warunku
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}}\)
otrzymuję, że
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y} =-12x^2y+4y^3}\)
przeto
\(\displaystyle{ u(x,y)= \int_{}^{} \left( -12x^2y+4y^3\right)\,\dd y=y^4-6x^2y^2+C_2(x) \ (2)}\)
a porównując postaci (1) i (2), otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ u(x,y)=x^4-6x^2y^2+y^4+C}\)
Wreszcie wstawiając \(\displaystyle{ f(j)=u(0,1)+jv(0,1)=1+j}\) wyliczamy, że
\(\displaystyle{ C=\dots}\)