Metoda rozwiązywania równania

[timus221]

Witam,bardzo proszę o pomoc w dobraniu odpowiedniej metody do rozwiązania tego równania.

\(\displaystyle{ ty''-y'-1+ \frac{1}{4}(y'') ^{2}=0}\)

[Janusz Tracz]

Podstawienie \(\displaystyle{ y'+1=z}\) i zamiana na równanie Bernoulliego.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ ty''-y'-1+ \frac{1}{4}(y'') ^{2}=0\\
y'=u\\
tu'-u-1+\frac{1}{4}\left( u' \right)^2=0\\
u=tu' +\frac{1}{4}\left( u' \right)^2-1\\}\)

Mamy równanie Clairaut
Różniczkujemy obustronnie i wprowadzamy parametr


\(\displaystyle{ ty''-y'-1+ \frac{1}{4}(y'') ^{2}=0\\
y'=u\\
tu'-u-1+\frac{1}{4}\left( u' \right)^2=0\\
u=tu' +\frac{1}{4}\left( u' \right)^2-1\\
u'=u'+tu''+\frac{1}{2}u'u''\\
u'=p\\
0=tp'+\frac{1}{2}pp'\\
0=p'\left( t+\frac{1}{2}p\right)\\
p'=0 \vee t+\frac{1}{2}p=0\\
p=C \vee p=-2t\\
\begin{cases} p=C \\ u=Ct+\frac{1}{4}C^2-1 \end{cases}\\
\begin{cases} p=-2t \\ u=-t^2-1 \end{cases} \\}\)

\(\displaystyle{ y=C_{1}\frac{t^2}{2}+\left(\frac{1}{4}C_{1}^2-1 \right)t+C_{2} \\
y=-\frac{t^3}{3}-t+C_{1}\\}\)