Udowodnij, że funkcja jest malejąca

[elbargetni]

Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ a \in R_{+}}\) następująca funkcja jest malejąca:

\(\displaystyle{ f(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-a t} \frac{1+x}{(1+x+t)^2} dt}\).

Pomyślałem, żeby zróżniczkować tę funkcję po x i pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{d f(x)}{dx}<0}\), wówczas otrzymuję:

\(\displaystyle{ \frac{d f(x)}{dx} = \int_{0}^{\infty} e^{-a t} \frac{-1-x+t}{(1+x+t)^3} dt}\).

Nie widzę, dlaczego ta całka miałaby być mniejsza od 0.

[Premislav]

Zgubiłeś dwójkę w pochodnej (choć dla rozwiązania to nieistotne), poza tym wypadałoby się powołać na jakieś twierdzenie (np. Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki albo co).


\(\displaystyle{ f(x)=\int_{0}^{\infty} e^{-a t} \frac{1+x}{(1+x+t)^2} dt=\bigg|u=1+x+t\bigg|= (1+x)e^{a(1+x)}\int_{1+x}^{ \infty } \frac{e^{-au}}{u^2} \,\dd u}\)
Zatem
\(\displaystyle{ f'(x)=\\=e^{a(1+x)} \int_{1+x}^{ \infty } \frac{e^{-au}}{u^2} \,\dd u+a(1+x)e^{a(1+x)}\int_{1+x}^{ \infty } \frac{e^{-au}}{u^2} \,\dd u-(1+x)e^{a(1+x)} \cdot \frac{e^{-a(1+x)}}{(1+x)^2}=\\=\left( ax+a+1\right) \int_{1+x}^{ \infty } \frac{e^{-au}}{u^2}\,\dd u- \frac{1}{1+x}}\)
Teraz odnotujmy, że
\(\displaystyle{ e^t >1+t}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\), więc wówczas mamy
\(\displaystyle{ e^{-t}< \frac{1}{1+t}}\)
czyli \(\displaystyle{ e^{-au}< \frac{1}{1+au}}\)
i z monotoniczności całki
\(\displaystyle{ \int_{1+x}^{ \infty } \frac{e^{-au}}{u^2}\,\dd u \le \int_{1+x}^{ \infty } \frac{\,\dd u}{u^2(1+au)} \le \int_{x+1}^{ \infty } \frac{\,\dd u}{u^2(1+ax+a)}}\)
więc
\(\displaystyle{ f'(x) \le \int_{x+1}^{ \infty } \frac{\,\dd u}{u^2} - \frac{1}{x+1}=0}\)
co kończy dowód.

A odpowiedź na pytanie: jak pokazać, że tamta całka jest ujemna brzmi:
niestety nie wiem, nie wpadłem na jakieś oszacowanie.