przekrój odwzorowań - półciągłość z dołu

[johnny1591]

Witam,

zastanawiam się nad pewnym problemem, z którym staram się uporać od jakiegoś czasu. Mianowicie:
\(\displaystyle{ f,g : E \to F}\) multifunkcje takie, że \(\displaystyle{ f}\) półciągła z dołu, \(\displaystyle{ g}\) ma otwarty wykres.
Celem jest pokazanie, że \(\displaystyle{ f \cap g}\) jest półciągłe z dołu. Przekrój jest rozumiany tutaj jako przekrój obrazów i załóżmy, że przekrój ten jest niepusty.

Dowód przebiega następująco:
Bierzemy zbiór otwarty i \(\displaystyle{ y \in (f \cap g)(x) \cap U}\).
Wykorzystujemy otwartość wykresu \(\displaystyle{ g}\), to znaczy, że istnieje otoczenie \(\displaystyle{ U_x \times U_y}\) punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) zawarte w wykresie \(\displaystyle{ g}\), czyli inaczej \(\displaystyle{ \left\{(x,y) \in E \times F : y \in g(x)\right\}}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ E \times F}\).
Korzystamy teraz z tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest półciągłe z dołu, czyli \(\displaystyle{ f^{-}[U{}] \cap U_x}\) jest otoczeniem \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ f^{-}[U{}] = \left\{ x \in E: f(x) \cap U \neq \emptyset \right\}}\).

Pokazać teraz trzeba, że zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-}[U{}] \cap U_x \subset (f \cap g)^{-}[U{}]}\), czyli, że biorąc \(\displaystyle{ x}\) należącego do lewej strony, spełnia on \(\displaystyle{ f(x) \cap g(x) \cap U \neq \emptyset.}\)

I tu mam problem, mianowicie w jaki sposób wykorzystać otwartość wykresu \(\displaystyle{ g}\) do pokazania niepustości obrazu \(\displaystyle{ g(x)}\). Niepuste przecięcie \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ U}\) gwarantuje mi półciągłość z dołu odwzorowania \(\displaystyle{ f}\).

Czy ktoś ma może pomysł (głównie wskazówki) jak tę inkluzję udowodnić?