Całka podwójna, współrzędne biegunowe

[szerszen]

Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całkę po obszarze:
\(\displaystyle{ \iint_{D} \left( x ^{2}+y ^{2} \right) dxdy, D: y \ge 0, y \le x ^{2}+y ^{2} \le x}\)

Wyznaczyłem obszar całkowania, ale mam problem z tą wyciętą częścią. Czy obszar we współrzędnych biegunowych będzie określony tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le \varphi \le \frac{ \pi }{2} \\
0 \le r \le \frac{1}{2} \end{cases}}\)

[kerajs]

Warto podać w jakich współrzędnych biegunowych liczysz.

\(\displaystyle{ D_1:\\
0 \le x \le \frac{1}{2}\\
0 \le y \le \frac{1}{2} - \sqrt{ \frac{1}{4}-x^2 }\\
\\
D_2:\\
\frac{1}{2} \le x \le 1 \\
0 \le y \le \sqrt{ x-x^2 }\\}\)

[szerszen]

czy dobrze rozumiem, że dla \(\displaystyle{ D_{2}}\) obszar całkowania we wsp. biegunowych będzie określony następująco:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le \varphi \le \frac{ \pi }{2} \\
0 \le r \le \frac{1}{2} \sin \varphi \end{cases}}\)

[kerajs]

Szkoda, że znowu muszę zgadywać, mimo że pisałem:

Warto podać w jakich współrzędnych biegunowych liczysz.

Obszar \(\displaystyle{ D_2}\) dla współrzędnych:
\(\displaystyle{ x=r\cos \alpha \wedge y=r\sin \alpha}\)
ma postać:
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{4} \\
\frac{1}{2\cos \alpha } \le r \le \cos \alpha}\)
Ale dla współrzędnych:
\(\displaystyle{ x=r\cos \alpha +\frac{1}{2} \wedge y=r\sin \alpha}\)
ma postać:
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{2} \\
0 \le r \le \frac{1}{2}}\)