Problem z liczbą 0,(9)

[AiDi]

Zdefiniuj "liczbę nieskończoną".

[lukasz1415]

liczba niewymierna, ułamek dziesiętny nieskończony

[NogaWeza]

No \(\displaystyle{ 1}\) jest przecież wymierne xD

btw. \(\displaystyle{ \frac{1}{7}}\) jest wymierne, a ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone, choć oczywiście okresowe

[AiDi]

ułamek dziesiętny nieskończony

Tak jak wyżej NogaWeza napisał, to że coś ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne nie czyni z tego liczby niewymiernej.

[lukasz1415]

każda liczba skończona jest nieskończona?

\(\displaystyle{ \frac{3}{8}=0,375=0,374(9)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=1=0,(9)}\)

ale przecież suma tego ciągu nigdy nie będzie wynosiła dokładnie: \(\displaystyle{ 1}\)
skoro cały czas rośnie...

[AiDi]

Jeśli nie będzie wynosiła dokładnie \(\displaystyle{ 1}\) to ile konkretnie? I co z tego, że cały czas rośnie? Wydaje mi się, że zanim odpowiesz to powinieneś przeczytać ten temat w całości. Znajdziesz tam odpowiedzi na postawione pytania. I tak, każdą liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek dziesiętny nieskończony okresowy. Np. \(\displaystyle{ 1=0,(9)}\). Poza tym nie pisz "liczba nieskończona", bo to nie ma sensu.

[lukasz1415]

Potrzebuje tylko jedno wyjaśnienie: skoro suma tego ciągu rośnie, cały czas rośnie i będzie rosła to jak się może zatrzymać na konkretnej wartości?

[a4karo]

Nie zatrzyma się, ale może nie przekroczyć. Najmniejsze z takich "nieprzekroczen" to jego suma.

[AiDi]

Ja to dodatkowo przypomnę rady z poprzedniego wątku w którym się wypowiadałeś: poczytaj o szeregach z jakiegoś podręcznika

[lukasz1415]

Z całym szacunkiem, ale co to ma wspólnego z moim pytaniem?

[AiDi]

To, że mówisz znów (jak i w sąsiednim temacie) o "nieskończonych sumach", czyli o czymś co podpada pod temat "szeregi". Konkretnie jest to szereg geometryczny, zatem wystarczy jakiś podręcznik licealny do poziomu rozszerzonego.

[lukasz1415]

no i co z tego?

poproszę tylko o odpowiedz na pytanie: skoro suma tego ciągu rośnie, cały czas rośnie i będzie rosła to jak się może zatrzymać na konkretnej wartości?

[AiDi]

No to masz:

Nie zatrzyma się, ale może nie przekroczyć. Najmniejsze z takich "nieprzekroczen" to jego suma.

Ponadto oprócz tego, że rośnie, to warto wiedzieć, że rośnie coraz wolniej (w odpowiedni sposób). Ma dzięki temu szansę nieprzekroczyć wspomnianej wartości.
Podobnie mamy np. w przypadku ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, ale w taki sposób, że żadna wartość nie zejdzie poniżej \(\displaystyle{ 0}\).

[Jan Kraszewski]

Z całym szacunkiem, ale co to ma wspólnego z moim pytaniem?

\(\displaystyle{ 0,(9)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10^n}}\)

JK

[Lorek]

no i co z tego?

poproszę tylko o odpowiedz na pytanie: skoro suma tego ciągu rośnie, cały czas rośnie i będzie rosła to jak się może zatrzymać na konkretnej wartości?

Z definicji sumy szeregu. Cała dyskusja (i inne podobne) nt. tego czy \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\) bierze się z tego, że ludzie nie posługują się ścisłymi definicjami, a swoimi odczuciami.