Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Jeszcze jedna rzecz mnie zastanawia, rozwinęliśmy ten szereg w x=0 i potem podstawiamy do niegox=1/2
Nie rozwijasz z \(\displaystyle{ x=0}\) tylko w \(\displaystyle{ x_0=0}\) a ponieważ \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) należy do promienia zbieżności to ją wstawiasz bo możesz i chcesz policzyć szereg z treści.
Odnośnie
+ na końcu będzie reszta? Do ilu wyrazów to obliczyć? Wolfram twierdzi, że ta suma to 12.
Tu nie ma żadnej reszty sumujesz do nieskończoności bo to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \red{ \infty} } \frac{n^{2}}{2^{n-1}}}\) Co do samego wyniku się zgodzę też mi wychodzi 12 przeczytaj jeszcze raz pierwszy post jaki napisałem i posty Przemka.
Ok przepraszam za zamieszanie, już chyba wszystko rozumiem.
Mieliśmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+x}{(1-x)^3}}\) i obliczyliśmy, że w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_0=0}\) można ją rozwinąć do szeregu Maclaurina \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }n^2x^{n-1}}\). Czyli \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+x}{(1-x)^3} = \sum_{n=1}^{ \infty }n^2x^{n-1}}\). W poleceniu pytają o \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}}{2^{n-1}}}\) i zauważyliśmy, że to nasz szereg Maclaurina dla punktu (pewnie nie "dla", ale nie wiem jakiego słowa tu użyć) \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}}{2^{n-1}}=f(\frac{1}{2}) = 12}\).
Tak o to chodziło. Najpierw pokazaliśmy że funkcja rozwija się w taki szereg Maclaurina \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+x}{(1-x)^3} = \sum_{n=1}^{ \infty }n^2x^{n-1}}\) a potem zauważamy że dla \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) dostaniemy szereg z zadania o jaki pytają więc liczymy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}}{2^{n-1}}=f\left( \frac{1}{2} \right)=12}\).
Dobrze rozumiesz.
