Oblicz sumę korzystając z rozwinięcia w szereg Maclaurina

[matematykiv]

Oblicz sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}}{2^{n-1}}}\) przy pomocy rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+x}{(1-x)^3}}\).

Szereg Maclaurina to szereg Taylora rozwinięty w \(\displaystyle{ x_{0}=0}\), więc szukam wzoru na szereg Taylora:

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{2(2+x)}{(-1+x)^4}

f''(x)=\frac{-6(3+x)}{(-1+x)^5}

f'''(x)=\frac{24(3+x)}{(-1+x)^6}

f^{iv}(x)= \frac{-120(5+x)}{(-1+x)^7}

...}\)
czyli
\(\displaystyle{ f^{n}(x)= \frac{(-1)^{(n+1)}(n+1)!(n+x)}{(x-1)^{n+3}}}\)

I teraz rozwijam go w \(\displaystyle{ x_{0}=0}\), żeby dostać szereg Maclaurina:

\(\displaystyle{ f^{n}(0)= \frac{(-1)^{(n+1)}(n+1)!(n+0)}{(0-1)^{n+3}} = \frac{(-1)^{(n+1)}(n+1)!(n)}{(-1)^{n+1}(-1)^2}=\frac{(n+1)!(n)}{(-1)^2}=(n+1)!(n)}\)

I nie wiem co dalej zrobić.. Ktoś może mi pomóc?

[Premislav]

A może tak:
dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^n=\frac{1}{1-x}\\ \sum_{n=1}^{ \infty }n x^{n-1}= \frac{1}{(1-x)^2}\\ \sum_{n=2}^{ \infty }n(n-1)x^{n-2}= \frac{2}{(1-x)^3}}\)
Różniczkowałem wyraz po wyrazie.
Teraz odejmując tę drugą sumę od trzeciej, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{1+x}{(1-x)^3}= -\frac{1}{(1-x)^2}+ \frac{2}{(1-x)^3}=-\sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n-1}+ \sum_{n=2}^{ \infty }n(n-1)x^{n-2}=\\=- \sum_{n=1}^{ \infty } nx^{n-1}+ \sum_{n=1}^{ \infty }n(n+1)x^{n-1}=\\= \sum_{n=1}^{ \infty }n^2 x^{n-1}}\)
wciąż dla \(\displaystyle{ |x|<1}\)
Podstawiasz \(\displaystyle{ x=\frac 1 2}\) i po zadaniu.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 1+x+x^2+x^3+x^4+...= \frac{1}{1-x} \ \ \ \Bigg| \ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+...=\left( \frac{1}{1-x} \right)' \ \ \ \Bigg| \ \cdot x}\)

\(\displaystyle{ x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...=x\left( \frac{1}{1-x} \right)' \ \ \ \Bigg| \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 1+4x+9x^2+16x^3+25^4+...=\left(x\left( \frac{1}{1-x} \right)'\right)'}\)

Ale

\(\displaystyle{ \left(x\left( \frac{1}{1-x} \right)'\right)'=- \frac{x+1}{(x-1)^3}=f(x)}\)

Czyli w zapisie sigmy funkcja rozwija się w taki szereg Maclaurina:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }n^2x^{n-1}=- \frac{x+1}{(x-1)^3}=f(x)}\)

Kładąc \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) mamy :

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{n^2}{2^{n-1}}=12}\)

Poprawa dotyczyła \(\displaystyle{ -}\) w funkcji.

[Premislav]

A jeśli wolisz to robić po Twojemu (to do autora wątku oczywiście), to niestety nie chce mi się sprawdzać obliczeń, ale ta pochodna na końcu wyszła chyba trochę nie tak; może takie rozpisanie coś ułatwi:
\(\displaystyle{ \frac{1+x}{(1-x)^3}
= \frac{x-1+2}{(1-x)^3}= \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{1}{(1-x)^2}}\)
Nietrudno zauważyć, że n-ta pochodna
\(\displaystyle{ \frac{2}{(1-x)^3}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{(n+2)!}{(1-x)^{n+3}}}\)
zaś n-ta pochodna
\(\displaystyle{ - \frac{1}{(1-x)^2}}\) wynosi \(\displaystyle{ - \frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}}\)
więc kładąc \(\displaystyle{ x_0=0}\) mamy ze wzoru Maclaurina
\(\displaystyle{ \frac{1+x}{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n!} \left( (n+2)!-(n+1)!\right)x^n=\\= \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)^2 x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }n^2 x^{n-1}}\)
dla \(\displaystyle{ |x|<1}\)
i zostało podstawić \(\displaystyle{ x=\frac 1 2}\).

[matematykiv]

W pierwszym poście kolejne pochodne są dobrze, czyli źle zapisałem ostatni wzór (ten "do n")? Ogólnie moja metoda jest dobra? Biorę funkcję, liczę jej pochodne, zapisuje je wzór Taylora, a później to co mi wyjdzie podstawiam do wzoru na szereg Maclaurina?

Jeśli dobrze zapisze ten ostatni wzór o wyjdzie mi ok?

Edit:

Udało mi się zapisać poprawną wersję "n-tej pochodnej":

\(\displaystyle{ f^{n}(x)= \frac{(-1)^{n+1}(n+1)!(n+1+x)}{(-1+x)^{n+3}}}\)
Wzór na szereg Maclaurina:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n f^n(0)}{n!}}\)
Czyli w tym przypadku
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n(-1)^{n+1}(n+1)!(n+1+0)}{n!(-1+0)^{n+3}} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n(-1)^{n+1}(n+1)!(n+1)}{n!(-1)^{n+1}(-1)^2}= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n n!(n+1)^2}{n!(-1)^2}=\sum_{n=1}^{ \infty } x^n (n+1)^2}\)
Chyba wszystko jest ok, tylko skąd się bierze to ostatnie przekształcenie na \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^2 x^{n-1}}\)?

I dlaczego dalej podstawiamy \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)?

[Janusz Tracz]

Twoja metoda jest dobra. Ale zapis jaki stosujesz nie ułatwia poznania wzoru na \(\displaystyle{ n}\)- tą pochodną to znaczy można to zrobić ale trzeba się bardziej wykazać sprytem w zgadywaniu. Jeśli poprawnie wyznaczył byś wzór to wyjdzie tak samo. Natomiast sposób Premislav, i mój wymaga znania wyniku przez zaczęciem zadania bo skąd niby wiedzieliśmy żeby akurat różniczkować \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }x^n}\). Więc chyba złotym środkiem jest zauważyć to co Premislav, napisał czyli :

\(\displaystyle{ \frac{1+x}{(1-x)^3} = \frac{x-1+2}{(1-x)^3}= \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{1}{(1-x)^2}}\)

\(\displaystyle{ (n+1)^2x^n}\) zamiana się na \(\displaystyle{ n^2x^{n-1}}\) bo przesuwasz wyraz od jakiego zaczynasz sumowanie. W pierwszej wersji masz wyraz porządkowy \(\displaystyle{ n=0}\) a w drugiej sumować zaczynasz od \(\displaystyle{ n=1}\).

Dlaczego \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\). No bo liczysz taką sumę \(\displaystyle{ \sum_{}^{} n^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}}\) a wiesz ile to \(\displaystyle{ \sum_{}^{} n^2 \cdot \left(x \right)^{n-1}}\)
Wiec podstawiasz \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)

[matematykiv]

Dzięki, to mam jeszcze pytanie o to ostatnie przekształcenie i w sumie po co ono jest \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^2 x^{n-1}}\)?
Dlaczego podstawiamy \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)?
Jak obliczyć sumę szeregu z polecenia, czyli: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}}{2^{n-1}}}\)?

Edit:

Ahh, chodzi o to, że jak się podstawi za \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) to otrzyma się szereg z polecenia właśnie?

Nie musimy badać jego zbieżności?

[Janusz Tracz]

Napisałem to wcześniej w EDICIE bo zadałeś pytanie 2 razy to samo pytanie i się pomieszało. Przeczytaj wcześniejszą wiadomość.

Tak \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) jest tylko po to żeby skończyć zadanie i policzyć konkretną wartość.

[matematykiv]

A to nie jest tak, że ten wzór działa od \(\displaystyle{ n=1}\)?\(\displaystyle{ f^{n}(x)= \frac{(-1)^{n+1}(n+1)!(n+1+x)}{(-1+x)^{n+3}}}\)

Dlatego przechodzi się na n=1?
Bo rozwinięcie szeregu Maclaurina od 0 by nie miało sensu?

PS. nie musimy badać zbieżności tego ostatniego szeregu?

[Janusz Tracz]

Co do zbieżności to czy trzeba ją badać to chyba zależy od metody bo korzystając z różniczkowania szeregu promień zbieżności może niezmienianie się tylko na brzegach więc nie trzeba był by tego robić bo \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \in (-1,1)}\) gdzie \(\displaystyle{ (-1,1)}\) to promień zbieżności szeregu geometrycznego od którego wyszliśmy różniczkując go. A co do metody za znalezieniem \(\displaystyle{ n}\)-tej pochodnej rzeczywiście można by się było powołać na kryterium Cauchego lub d'Alembert by mieć pewność że szereg jest zbieżny. Ale jak by się czepiać to trzeba by też było udowodnić sam wzór na \(\displaystyle{ n}\)-tą pochodną bo przecież został zgadnięty i nie wiadomo czy się nie sypnie na przykład dla \(\displaystyle{ n=12867231}\).

-- 17 cze 2017, o 12:22 --

Z tym \(\displaystyle{ n}\) chodzi tylko o to że można sobie przesunąć wyrazy :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}}\)

[matematykiv]

Dzięki, a mógłbyś mi wytłumaczyć jeszcze tylko o co chodzi z tym sumowaniem od niby \(\displaystyle{ n=0}\), ale jednak od \(\displaystyle{ n=1}\) i czy to normalne, że dla \(\displaystyle{ n=0 f^{n}(x)= \frac{(-1)^{n+1}(n+1)!(n+1+x)}{(-1+x)^{n+3}}}\) przyjmuje postać \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-(x+1)}{(x-1)^3}}\), natomiast ta wyjściowa funkcja na początku to \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+x}{(1-x)^3}}\) (różnią się minusem)?

Edit: ale po co tak przesuwać?

[Janusz Tracz]

To jak sumujemy zależy od tego jak jest wygodnie. Tu przesuwany po to by nie pisać czegoś w stylu

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }nx^n}\)

Bo po co pisać coś takiego skoro pierwszym wyrazem sumy jest zero.
Dlatego napiszemy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }nx^n}\) i wyjdzie na to samo.

Tak to normalne że dla \(\displaystyle{ n=0}\) \(\displaystyle{ f^{(n)}=f}\) ogonie jest tak że zerowa pochodna to po prostu "ta" funkcja.

Ale przecież \(\displaystyle{ \frac{-(x+1)}{(x-1)^3}=\frac{1+x}{(1-x)^3}}\) zobacz co się stało z mianownikiem.

[matematykiv]

To już wszystko rozumiem, czyli w tym przypadku po prostu trzeba na to
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)^2 x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }n^2 x^{n-1}}\) wpaść i zobaczyć, że po podstawieniu \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) dostaniemy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}}{2^{n-1}}}\)?

[Janusz Tracz]

Nie powiedział bym że "trzeba na to wpaść i zobaczyć, że" ale z pewnością to pomogło w rozwiązaniu.

[matematykiv]

A od którego szeregu geometrycznego my wyszliśmy różniczkując go (chodzi mi o ten promień zbieżności)?

Jeszcze jedna rzecz mnie zastanawia, rozwinęliśmy ten szereg w \(\displaystyle{ x=0}\) i potem podstawiamy do niego\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\)..

Jak chcę znaleźć sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}}{2^{n-1}}}\) to to będzie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^2 x^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) czyli własnie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}}{2^{n-1}} = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} \frac{1}{2} + \frac{f'(0)}{2!} (\frac{1}{2})^2 + ..}\)
+ na końcu będzie reszta? Do ilu wyrazów to obliczyć? Wolfram twierdzi, że ta suma to 12.