Wyznaczanie ekstremów funkcji uwikłanych

[matematykiv]

Dzień dobry,

mam znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej postaci \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\), która jest zadania przez \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y -4z + 10}\)

Wiem, że muszę rozwiązać układ 4 równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x} =0\\ \frac{\partial f}{\partial y} =0\\ \frac{\partial f}{\partial } \neq 0 \\f(x,y,z)=0 \end{array}}\)

Pierwsze 2 równania i ostatnie mówią o tym gdzie można rozwinąć funkcję i jednocześnie to punkty podejrzane o ekstremum, a 3 równanie mówi o tym gdzie nie może być ekstremum?

[janusz47]

Aby można było mówić o ekstremach formy kwadratowej \(\displaystyle{ f}\) jej równanie powinno mieć postaci

\(\displaystyle{ f(x,y,z) = x^2 +y^2 +z^2 - 2x - 2y - 4z -10 = 0}\)

Punkty krytyczne spełniają układ równań

\(\displaystyle{ f'_{|x}(x,y,z) = 0 = f'_{|y}(x,y,z) = f(x,y,z).}\)

\(\displaystyle{ \left \{\begin{matrix} 2x - 2 =0 ; \\ 2y -2 =0; \\
x^2 +y^2 +z^2 - 2x - 2y - 4z -10 =0 \end{matrix}\right.}\)

\(\displaystyle{ x = 1, \ \ y = 1, \ \ z^2 -4z -12 = 0.}\)

\(\displaystyle{ P_{1} = ( 1, 1, -2), \ \ P{2}= (1, 1, 6).}\)

\(\displaystyle{ f'_{|z}(1, 1, -2) = -8\neq 0,}\)

\(\displaystyle{ f'_{|z}(1,1, 6) = 8 \neq 0.}\)

Rodzaj punktu krytycznego.

\(\displaystyle{ z^{''}(1,1,-2)= \frac{1}{8} \left [ \begin{matrix}-2 & 0\\ 0 & -2\end{matrix}\right]}\)

\(\displaystyle{ D_{1}=-2<0, \ \ D_{2} = 4>0.}\) - druga pochodna ujemnie określona

W punkcie \(\displaystyle{ P_{1}= (1, ,1, -2)}\) występuje maksimum.


\(\displaystyle{ z^{''}(1,1, 6)= - \frac{1}{8} \left [ \begin{matrix}-2 & 0\\ 0 & -2\end{matrix}\right] =\frac{1}{8} \left [ \begin{matrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{matrix}\right]}\)

\(\displaystyle{ D_{1}= 2>0, \ \ D_{2} = 4>0.}\)

W punkcie \(\displaystyle{ P_{2} =(1, 1, 6)}\) - ekstremum brak

[matematykiv]

A czy wzoru na 2 pochodną nie trzeba wyprowadzić?

[janusz47]

Jeśli się pamięta, to nie trzeba

\(\displaystyle{ z" = -\frac{1}{f'_{|z}(x,y,z)}\left [\begin{matrix} f_{xx}& f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{matrix}\right].}\)

[bosa_Nike]

No to jaki w końcu jest wzór tej funkcji? Bo w przypadku z drugiego posta mamy do czynienia ze sferą o środku \(\displaystyle{ (1,1,2)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 4}\) i raczej od razu widać, gdzie jest wierzch, a gdzie spód, więc można natychmiast zweryfikować to, cośmy naróżniczkowali.