Granica sin n

[Janusz Tracz]

Witam.
Zastanawiam się nad podciągiem liczb naturalnych \(\displaystyle{ n_k}\) takim że \(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty }\sin n_k=g}\). Istnienie takiego podciągu uargumentował bym tym że każdy ograniczony i nieskończony zbiór ma co najmniej jeden punkt skupienia. Wiem że niekoniecznie \(\displaystyle{ g}\) musi być zerem ale zacząłem od tego żeby dobrać taki \(\displaystyle{ n_k}\) żeby \(\displaystyle{ \sin n_k \rightarrow 0}\). Pomysł miałem taki. \(\displaystyle{ n_k}\) dla coraz większych \(\displaystyle{ k}\) przybliżał \(\displaystyle{ \pi m}\) gdzie \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ n_k\in\mathbb{N}}\). Niech więc będzie taki \(\displaystyle{ n_k=\underbrace{3,1415...}_{k}\cdot10^k}\) co oznaczało by że z każdym następnym \(\displaystyle{ k}\) coraz lepiej przybliżam liczbę \(\displaystyle{ \pi}\) jednocześnie dbając o to by \(\displaystyle{ n_k\in\mathbb{N}}\). Wydaje mi się że to jednak nie zadziała bo co prawda przybliżam \(\displaystyle{ \pi}\) ale różnica między przybliżeniem a prawdziwą wartością \(\displaystyle{ \pi}\) jest mnożona przez coraz większe \(\displaystyle{ 10^k}\). W jaki sposób można by to było zrobić? No i czy dało by się znaleźć jakiś sposób na znajdowanie podciągów dla zadanego \(\displaystyle{ g}\) (oczywiście o ile taki podciąg istniał by)?

[Premislav]

Dla każdego \(\displaystyle{ g in [-1,1]}\) istnieje taki podciąg \(\displaystyle{ (n_k)}\) liczb naturalnych, że
\(\displaystyle{ lim_{k o infty }sin n_k=g}\). Dowodu nie umiem przeprowadzić, ale jest to dla mnie intuicyjne, a w dowodzie może pomóc ten wątek:
95111.htm

[Janusz Tracz]

To prawda że jakoś intuicyjnie czuje że dla każdego \(\displaystyle{ g\in[-1,1]}\) istnieje taki podciąg \(\displaystyle{ n_k}\) że \(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty }\sin n_k=g}\) choć bardziej zastanawia mnie jakiś konkretny, jak mógł by wyglądać. Wydaje mi się że najprościej było by szukać właśnie dla \(\displaystyle{ g=0}\).Inny pomysł jaki miałem to wykorzystanie wzoru

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}= \prod_{ m=1}^ {\infty} \frac{(2m)^2}{(2m-1)(2m+1)}}\)

Wprowadzając ciąg \(\displaystyle{ \pi _M=2\prod_{m=1}^ {M} \frac{(2m)^2}{(2m-1)(2m+1)}}\)

Mamy oczywiście że \(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty } \pi _M= \pi}\)
Przekształcając można zapisać że :

\(\displaystyle{ \pi _M \cdot \prod_{m=1}^{M}(2m-1)(2m+1)=2 \prod_{m=1}^{M}(2m)^2}\)

oczywiście prawa strona równości należy do liczba naturalnych. Dlatego lewa strona też należy do naturalnych a postać liczb po lewej stornie "coraz bardziej przybliża " \(\displaystyle{ \pi a}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{N}}\) w tym przypadku \(\displaystyle{ a= \prod_{m=1}^{M}(2m-1)(2m+1)}\). To może warto by było wybrać właśnie taki podciąg liczba naturalnych \(\displaystyle{ n_M=2 \prod_{m=1}^{M}(2m)^2}\)

W starych oznaczeniach

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n_k=2 \prod_{m=1}^{k}(2m)^2}\)

Wydawać by się mogło że liczby \(\displaystyle{ n_M}\) można zapisywać z coraz lepszą dokładnością w postaci \(\displaystyle{ \pi a}\) dla \(\displaystyle{ a\in\mathbb{N}}\) dlatego \(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty }\sin n_M=0}\)

Ale czy to prawda?
Zastanawiam się jeszcze nad \(\displaystyle{ n_M}\)

\(\displaystyle{ n_M=2\prod_{m=1}^{M}(2m)^2=2\prod_{m=1}^{M}4m^2=8\left( \prod_{m=1}^{M}m \right)^2=8(M!)^2}\)

Czyli \(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty }\sin 8(M!)^2=0}\) ?
Czy to co robię ma w ogóle jakiś sens?

Ps. Dzięki za ten watek z tym dowodem fajny jest.

[yorgin]

Dla każdego \(\displaystyle{ g \in [-1,1]}\) istnieje taki podciąg \(\displaystyle{ (n_k)}\) liczb naturalnych, że
\(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty }\sin n_k=g}\). Dowodu nie umiem przeprowadzić,

To nie jest też trudne.

Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ g\in [-1,1]}\). Niech \(\displaystyle{ h=arcsin ginleft[-frac{pi}{2},frac{pi}{2}
ight)}\).

Problem równoważny to znaleźć teraz taki ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a_n)}\), że \(\displaystyle{ a_n\to h \mod \pi}\).

Teraz wystarczy powołać się na gęstość zbioru \(\displaystyle{ (\mathbb{N}\mod\pi)}\) w zadanym przedziale. I wybrać podciąg.



Janusz Tracz, Generalnie problem jest ciekawy. I chyba prawdą jest, że

\(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty }\sin 8(M!)^2=0}\).

Istotnie wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 8(M!)^2}\) jest dowolnie blisko pewnej wielokrotności \(\displaystyle{ \pi}\). A to powinno wynikać z rozumowania z Twojego posta. Póki co to sama heureza to trochę za mało

[Premislav]

Racja, dziękuję, yorgin.

A Ciebie Janusz Tracz przepraszam, bo w sumie zadałeś pytanie o sposób na znalezienie konkretnego podciągu zbieżnego do danej liczby, a ja napisałem, że dla każdej liczby z \(\displaystyle{ [-1,1]}\) da się znaleźć takich podciąg, czyli nie umiem czytać po raz kolejny.

[Janusz Tracz]

Czyli teraz trzeba by było pokazać że \(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty }\sin(8(M!)^2)=0}\)
Ale yorgin, czy właśnie tego nie zrobiłem? Gdzie trzeba jeszcze formalnych argumentów? Choć jakoś tak intuicyjnie czuje że czegoś jednak brakuje w tym rozumowaniu i tak jak mówisz jest to dopiero heurystyka.

Premislav, nie ma za co:). Dobrze że to napisałeś bo istnienie podciągu dla dowolnie wybranego \(\displaystyle{ g}\) było tylko podejrzeniem i nie miałem nawet pewności że taki istnieje. Miałem pewność tylko że co najmniej jeden taki istnieje i nawet nie wiedział bym jakie da \(\displaystyle{ g}\) (dlatego zakładałem że uda się pokazać że akurat zadziała dla \(\displaystyle{ g=0}\)).

[Dasio11]

To ja proponuję prościej:

\(\displaystyle{ \pi_n = \frac{\lfloor \pi \cdot n \rfloor}{n} \xrightarrow{n \to \infty} \pi \\[2ex]
\pi_n \cdot n = \lfloor \pi \cdot n \rfloor}\)

a więc może

\(\displaystyle{ \mathop{\mathrm{lim} \, \mathrm{sin}}_{n \to \infty} \left( \lfloor \pi \cdot n \rfloor \right) = 0}\) ?

[a4karo]

Raczej nie : \(\displaystyle{ \{\pi n\}}\) leżą gęsto w odcinku jednostkowym

[Premislav]

Zapewne pisząc powyższy post Dasio11 chciał w zawoalowany sposób zwrócić uwagę na pewien błąd/nieścisłość w przedstawionych w tym wątku rozumowaniach.

A mianowicie widać wyraźną analogię do tego:

Wprowadzając ciąg \(\displaystyle{ \pi _M=2\prod_{m=1}^ {M} \frac{(2m)^2}{(2m-1)(2m+1)}}\)

Mamy oczywiście że \(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty } \pi _M= \pi}\)
Przekształcając można zapisać że :

\(\displaystyle{ \pi _M \cdot \prod_{m=1}^{M}(2m-1)(2m+1)=2 \prod_{m=1}^{M}(2m)^2}\)

oczywiście prawa strona równości należy do liczba naturalnych. Dlatego lewa strona też należy do naturalnych a postać liczb po lewej stornie "coraz bardziej przybliża " \(\displaystyle{ \pi}\) a dla pewnego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{N}}\) w tym przypadku \(\displaystyle{ a= \prod_{m=1}^{M}(2m-1)(2m+1)}\). To może warto by było wybrać właśnie taki podciąg liczba naturalnych \(\displaystyle{ n_M=2 \prod_{m=1}^{M}(2m)^2}\)

[Janusz Tracz]

Widzę analogie w podejściu ale jest pewna różnica co do samych własności ciągów. Wprowadzając ciąg różnic \(\displaystyle{ R_M}\) taki że :

\(\displaystyle{ \pi \prod_{m=1}^{M}(2m-1)(2m+1)+R_M=2 \prod_{m=1}^{M}(2m)^2}\)

Można by stwierdzić/pokazać (o ile to prawda) że \(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty}R_M=0}\)
Ciąg różnic dba o to by lewa strona należała do naturalnych.
Robiąc to samo w drugim przykładzie nie dostaniemy takiej własności.

\(\displaystyle{ \pi M+R_M=\lfloor \pi \cdot M \rfloor \right}\)

Tak jak poprzednio ciąg różnic \(\displaystyle{ R_M}\) dba o to by lewa strona należała do naturalnych

\(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty }R_M \neq 0}\)

bo akurat \(\displaystyle{ R_M=-\left\{ \pi M\right\}}\)

Zapisałem ten w ten sposób by pokazać że w przykładzie \(\displaystyle{ (1)}\) liczby postaci \(\displaystyle{ 2 \prod_{m=1}^{M}(2m)^2}\) można coraz lepiej zapisywać jako wielokrotność \(\displaystyle{ \pi}\) a w przykładzie \(\displaystyle{ (2)}\) liczby postaci \(\displaystyle{ \lfloor \pi \cdot M\rfloor}\) są blisko \(\displaystyle{ \pi M}\) ale nie coraz bliżej.

[Dasio11]

Zapisałem ten w ten sposób by pokazać że w przykładzie \(\displaystyle{ (1)}\) liczby postaci \(\displaystyle{ 2 \prod_{m=1}^{M}(2m)^2}\) można coraz lepiej zapisywać jako wielokrotność \(\displaystyle{ \pi}\) a w przykładzie \(\displaystyle{ (2)}\) liczby postaci \(\displaystyle{ \lfloor \pi \cdot M\rfloor}\) są blisko \(\displaystyle{ \pi M}\) ale nie coraz bliżej.

Pod warunkiem, że w pierwszym przypadku zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{M \to \infty} R_M = 0.}\)


Jeśli \(\displaystyle{ a_k > 1, \, \prod_{k=0}^{\infty} a_k = p}\) oraz \(\displaystyle{ P_n = \prod_{k=0}^n a_k,}\) to \(\displaystyle{ \frac{p}{P_n} = \prod_{k=n+1}^{\infty} a_k \ge a_{n+1}.}\)


Dla \(\displaystyle{ a_0 = 2, \, a_k = \frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}}\) i \(\displaystyle{ \pi_n = P_n}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{\pi_n} \ge a_{n+1},}\) a zatem \(\displaystyle{ \pi_n \le \pi \cdot \left( 1-\frac{1}{4(n+1)^2} \right).}\)

Stąd \(\displaystyle{ |\pi_n - \pi| = \pi - \pi_n \ge \frac{\pi}{4(n+1)^2}.}\)

No to teraz

\(\displaystyle{ |R_M| = \left| \pi_M - \pi \right| \cdot \prod_{m=1}^M (2m-1)(2m+1) \ge \pi \cdot \frac{1}{4(M+1)^2} \cdot \prod_{m=1}^M (2m-1)(2m+1).}\)

Ups. :p


W tym rzecz: żeby osiągnąć rezultat, trzeba przybliżyć \(\displaystyle{ \pi}\) takim ciągiem ułamków \(\displaystyle{ \pi_n = \frac{p_n}{q_n},}\) żeby \(\displaystyle{ |q_n \cdot \pi - p_n| = q_n \cdot | \pi_n - \pi |}\) było małe. Nie wystarczy, że \(\displaystyle{ \pi_n \to \pi.}\)

[jutrvy]

Być może warto pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \{ \{n\cdot\xi\}\colon n\in\NN\}}\) jest gęstym podzbiorem odcinka \(\displaystyle{ [0, 1]}\), gdzie liczba \(\displaystyle{ \xi}\) jest dowolną liczbą niewymierną. Wskazówka: zastosować zasadę szufladkową Dirichleta. (Ok, pewnie byśmy chcieli brać ciąg \(\displaystyle{ n\cdot 2\pi}\) i odcinek \(\displaystyle{ [0, 2\pi]}\), ale to na dobrą sprawę wszystko jedno.)

Z tego łatwo już wywnioskować to, że wartości ciągu \(\displaystyle{ \sin n}\) leżą gęsto w odcinku \(\displaystyle{ [-1,1]}\).

[Janusz Tracz]

jutrvy, Być może warto to pokazać ale nie wiem czy da nam to tylko informację o istnieniu takich ciągów czy da nam to też sposób na ich znajdowanie.

Dasio11, Racja, powinienem się zastanowić a nie pisać to co mi się zdaje.

To może jakoś rekurencyjnie. Próbuje zapisać zapisać taki ciąg który tak jakby sam decydował czy jego wartości są bliżej granicy od wartości wcześniejszych. Coś w stylu ciągu posiadającego pamięć o swoich wcześniejszych wartościach albo przejaśniej o ostatniej wartości która była najbliższej granicy. Po znalezieniu lepszej (czyli bliższej) granicy numer tego wyrazu zostaje "zapamiętany" i kolejne wartości będą porównywane z wartością dla tego numeru.Ciągiem szukanym będą właśnie te numery wyrazów dla jakich byliśmy coraz bliżej granicy. Można by chyba rozważać dwie możliwości pierwsza to taka że od razu wybieramy tak by \(\displaystyle{ \sin n}\) był coraz bliżej wybranej granicy. Druga możliwość to coś podobnego z wcześniejszych postów czyli coraz lepsze szacowanie \(\displaystyle{ \pi m}\) liczbą naturalną. I sprawdzanie warunku \(\displaystyle{ |q_n \cdot \pi - p_n| = q_n \cdot | \pi_n - \pi |}\) coraz mniejsze. Nie wiem jak coś takiego zapisać inaczej niż słownie. Poza tym nie wymyśliłem nic odkrywczego bo to po prostu definicja granicy czyli coraz lepszego dopasowania reszty wyrazów do otoczenia \(\displaystyle{ \epsilon}\). Ale wydaje mi się że da się coś takiego zapisać być może z użyciem ciągu określonych różnie dla różnych wartości, funkcji skokowej \(\displaystyle{ 1(x)}\) i jej przesunięć albo \(\displaystyle{ \min\left\{ \right\}}\) albo jeszcze innych narzędzi ale się da.

Istnienie takiego ciągu można by chyba uzasadnić gęstym wypełnieniem \(\displaystyle{ [-1,1]}\) przez \(\displaystyle{ \sin n}\). Ale cieki mnie jak taki ciąg mógł by wyglądać a nie czy istnieje (skoro już wiemy że istnieje).

[yorgin]

Istnienie takiego ciągu można by chyba uzasadnić gęstym wypełnieniem \(\displaystyle{ [-1,1]}\) przez \(\displaystyle{ \sin n}\).

Raczej na pewno można

Ale cieki mnie jak taki ciąg mógł by wyglądać a nie czy istnieje (skoro już wiemy że istnieje).

Takie coś może być bardzo trudne do wskazania w sposób jawny. Z drugiej strony komentarz

W tym rzecz: żeby osiągnąć rezultat, trzeba przybliżyć \(\displaystyle{ \pi}\) takim ciągiem ułamków \(\displaystyle{ \pi_n = \frac{p_n}{q_n},}\) żeby \(\displaystyle{ |q_n \cdot \pi - p_n| = q_n \cdot | \pi_n - \pi |}\) było małe. Nie wystarczy, że \(\displaystyle{ \pi_n \to \pi.}\)

skojarzył mnie z ułamkami łańcuchowymi. Niech

\(\displaystyle{ \pi=[3;7,15,1,292,\ldots]}\).

będzie ułamkiem łańcuchowym dla \(\displaystyle{ \pi}\). Rozważmy redukt \(\displaystyle{ \frac{p_n}{q_n}=[3;7,15,1,292,\ldots,a_n]}\).

Wtedy z ogólnej teorii zachodzi

\(\displaystyle{ \left|\pi-\frac{p_n}{q_n}\right|<\frac{1}{p_np_{n+1}}}\),

czyli

\(\displaystyle{ \left|\pi q_n-p_n\right|<\frac{q_n}{p_np_{n+1}}}\)

i to już wystarczy, gdyż \(\displaystyle{ \frac{q_n}{p_n}}\) jest bliskie \(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}}\) oraz \(\displaystyle{ p_n\to+\infty}\).

Kilka początkowych wyrazów \(\displaystyle{ p_n}\):

\(\displaystyle{ 3, 22, 333, 355, 103993, 104348, 208341, 312689, 833719\ldots}\)

No niestety, ale jawnego wzoru nie ma. Ale znalazłem 180 milionów liczb z rozwinięcia w ułamek łańcuchowy

Kod: Zaznacz cały

http://chesswanks.com/seq/cfpi/

, więc dla cierpliwych 180 milionów pierwszych wyrazów \(\displaystyle{ p_n}\) jest do wyznaczenia