Podział zbioru na niepuste podzbiory

[qweqwe123]

Witam!

Mam do rozwiązania zadanie : W kolejce stoi n studentów. Wchodzą oni na egzamin w k niepustych grupach. Na ile sposobów można utworzyć te grupy.

W internecie znalazłem podobne zadanie, gdzie rozwiązaniem podobno jest \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}\), jednak nie podano wytłumaczenia, oraz nie wiem czy to poprawne rozwiązanie.

Z drugiej strony liczbę k elementowych podzbiorów zbioru n elementowego wyraża liczba stirlinga 2 rodzaju, czyli wtedy rozwiązań było by \(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\}}\)

Czy któreś z powyższych rozumowań jest poprawne? Proszę o pomoc

[Premislav]

To pierwsze rozwiązanie jest poprawne, a to drugie nie.
Poza tym dla ścisłości \(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\}}\) to liczba podziałów zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego na \(\displaystyle{ k}\) niepustych podzbiorów (napisałeś trochę co innego, ale pewnie to miałeś na myśli).

Masz \(\displaystyle{ n}\) ludzi w kolejce, pomiędzy nimi jest łącznie \(\displaystyle{ n-1}\) przerw (między pierwszym a drugim, między drugim a trzecim itd.) i by podzielić ich na \(\displaystyle{ k}\) grupek, którymi będą wchodzili, wstawiasz jakby \(\displaystyle{ k-1}\) przegródek w \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc.