Zależność między wnętrzem a dopełnieniem

[Rozbitek]

Udowodnij twierdzenie:
\(\displaystyle{ int A = X \setminus cl ( X \setminus A)}\)

Korzystając z własności, że:

\(\displaystyle{ int A \subset A}\)

\(\displaystyle{ X \setminus cl(X \setminus A) \subset A}\)

teraz korzystam z własności, że

\(\displaystyle{ A \subset clA}\)

\(\displaystyle{ (X \setminus A) \subset cl (X \setminus A)}\)

\(\displaystyle{ X \setminus (X \setminus A) \subset A}\)

\(\displaystyle{ X \setminus (X \setminus A) \subset A}\)

\(\displaystyle{ [X \setminus (X \setminus A)] = A}\)

\(\displaystyle{ A \subset A}\), a to prawda

więc to znaczy, że:

\(\displaystyle{ X \setminus cl(X \setminus A) \subset A}\)

a to znaczy, że:

\(\displaystyle{ int A = X \setminus cl ( X \setminus A)}\)

[Jan Kraszewski]

a to znaczy, że:

\(\displaystyle{ int A = X \setminus cl ( X \setminus A)}\)

Dlaczego?

Ja w Twoim rozumowaniu nie potrafię niestety odnaleźć ciągu logicznego - nie wiadomo, co według Ciebie wynika z czego i dlaczego.

JK

[Rozbitek]

a to znaczy, że:

\(\displaystyle{ int A = X \setminus cl ( X \setminus A)}\)

Dlaczego?
JK

Ostatniego przejścia nie jestem właśnie pewny

Ja w Twoim rozumowaniu nie potrafię niestety odnaleźć ciągu logicznego - nie wiadomo, co według Ciebie wynika z czego i dlaczego.

wnętrze \(\displaystyle{ A}\) zawiera się w \(\displaystyle{ A}\)

a więc skoro: \(\displaystyle{ X \setminus cl ( X \setminus A)}\) jest wnętrzem, to dalsze rozumowanie powinno mnie doprowadzić, do właściwych wniosków. Co więcej

Dalej skorzystałem z własności, że zbiór zawiera się w domknięciu, a skoro domknięcie zawiera sięw czymś, to tym bardziej zbiór się w tym czymś zawiera.
Dalej tylko ciągnę to myślenie.

[Jan Kraszewski]

a więc skoro: \(\displaystyle{ \red X \setminus cl ( X \setminus A)}\) jest wnętrzem, to dalsze rozumowanie powinno mnie doprowadzić, do właściwych wniosków. Co więcej

No fatalnie. Czy wiesz o tym, że nie wolno wnioskować z tezy? Oraz o tym, że jak z tezy wywnioskujesz prawdę, to to dokładnie nic nie znaczy? Pomijając już fakt, że samo "wnioskowanie" też nie trzyma się kupy, np. z czego korzystasz w tym przejściu:

\(\displaystyle{ (X \setminus A) \subset cl (X \setminus A)\\
X \setminus (X \setminus A) \subset A\ ?}\)

JK

[Rozbitek]

a więc skoro: \(\displaystyle{ \red X \setminus cl ( X \setminus A)}\) jest wnętrzem, to dalsze rozumowanie powinno mnie doprowadzić, do właściwych wniosków. Co więcej

No fatalnie. Czy wiesz o tym, że nie wolno wnioskować z tezy? Oraz o tym, że jak z tezy wywnioskujesz prawdę, to to dokładnie nic nie znaczy?

A no faktycznie.

\(\displaystyle{ (X \setminus A) \subset cl (X \setminus A)\\
X \setminus (X \setminus A) \subset A\ ?}\)

\(\displaystyle{ (X \setminus A) \subset cl (X \setminus A)}\)
taka jest własność dopełnienia.

i jeżeli tak jest i jednocześnie:
\(\displaystyle{ X \setminus cl(X \setminus A) \subset A}\)

to oczywiste jest, że:
\(\displaystyle{ X \setminus (X \setminus A) \subset A}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ (X \setminus A) \subset cl (X \setminus A)}\)
taka jest własność dopełnienia.

i jeżeli tak jest i jednocześnie:
\(\displaystyle{ X \setminus cl(X \setminus A) \subset A}\)

to oczywiste jest, że:
\(\displaystyle{ X \setminus (X \setminus A) \subset A}\)

"Dowód przez oczywistość" jest bardzo pociągający, ale nie polecam używania go. Zamiast przepisywać znaczki zastanowiłbyś się lepiej, co one znaczą, wtedy nie popełniałbyś takich błędów.

W tym wypadku oczywiste jest, że to wnioskowanie nie jest poprawne, choć oczywiście wniosek jest prawdziwy, bo \(\displaystyle{ A \subseteq A}\) bez żadnych wnioskowań.

Oczywiste jest, że zbiór \(\displaystyle{ cl(X \setminus A)}\) jest "większy" od zbioru \(\displaystyle{ X \setminus A}\), zatem oczywiste jest, że jego dopełnienie \(\displaystyle{ X \setminus cl(X \setminus A)}\) jest "mniejsze" od dopełnienia \(\displaystyle{ X \setminus (X \setminus A)}\). A z tego, że "mniejszy" zbiór zawiera się w \(\displaystyle{ A}\) nijak nie możesz wnioskować, że "większy" też się zawiera.

To tyle oczywistości.

JK

[Rozbitek]

Bo że "większy" się zawiera założyłem wcześniej, korzystając z tezy, co nie było zbyt szczęśliwe. Czyli właściwie to udowodniłem, że \(\displaystyle{ A \subset A}\) (zakładając, że teza jest prawdziwa). No cóż, czasem tak mam. xD

Wpadłem na pomysł, przede wszystkim to uświadomiłem sobie, że nie było żadnych założeń za co przepraszam:
\(\displaystyle{ (X, d)}\) - prz. metr.
\(\displaystyle{ A \subset X}\)

\(\displaystyle{ int A = X \setminus cl ( X \setminus A)}\)

Teraz pomysł:
\(\displaystyle{ int A = X \setminus (X \setminus int A)}\)

Tylko nwm co dalej. :/

[Jan Kraszewski]

Bo że "większy" się zawiera założyłem wcześniej, korzystając z tezy, co nie było zbyt szczęśliwe. Czyli właściwie to udowodniłem, że \(\displaystyle{ A \subset A}\) (zakładając, że teza jest prawdziwa).

Nie, nic nie udowodniłeś.

Wpadłem na pomysł, przede wszystkim to uświadomiłem sobie, że nie było żadnych założeń za co przepraszam:
\(\displaystyle{ (X, d)}\) - prz. metr.
\(\displaystyle{ A \subset X}\)

\(\displaystyle{ int A = X \setminus cl ( X \setminus A)}\)

I znów masz problem: piszesz same znaczki i nie wiem, czy znów nie uznajesz tezy za założenie. Jak formułujesz dowód, to w dowodzie teza powinna pojawić się (zazwyczaj) na końcu - jako wniosek z rozumowania.

Teraz pomysł:
\(\displaystyle{ int A = X \setminus (X \setminus int A)}\)

Widzisz, dowód nie polega na uprawianiu magii znaczków, na zasadzie "coś wymyślę, a nuż się uda". Dowód polega na tym, że powinieneś najpierw dobrze zrozumieć, co masz dowieść, potem wymyślić jak to dowieść, a dopiero na końcu opisać to rozumowanie.

JK

[Rozbitek]

Wpadłem na pomysł, przede wszystkim to uświadomiłem sobie, że nie było żadnych założeń za co przepraszam:
\(\displaystyle{ (X, d)}\) - prz. metr.
\(\displaystyle{ A \subset X}\)

\(\displaystyle{ int A = X \setminus cl ( X \setminus A)}\)

I znów masz problem: piszesz same znaczki i nie wiem, czy znów nie uznajesz tezy za założenie. Jak formułujesz dowód, to w dowodzie teza powinna pojawić się (zazwyczaj) na końcu - jako wniosek z rozumowania.

Założenia:
\(\displaystyle{ (X, d)}\) - prz. metr.
\(\displaystyle{ A \subset X}\)

Teza:
\(\displaystyle{ int A = X \setminus cl ( X \setminus A)}\)

Widzisz, dowód nie polega na uprawianiu magii znaczków, na zasadzie "coś wymyślę, a nuż się uda". Dowód polega na tym, że powinieneś najpierw dobrze zrozumieć, co masz dowieść, potem wymyślić jak to dowieść, a dopiero na końcu opisać to rozumowanie.

Najpierw dobrze zrozumieć.
To przyznam się, że nie mam pojęcia jak miałoby wyglądać dopełnienie \(\displaystyle{ (X \setminus A)}\).
Bo dopełnienie rozumiem jako najmniejszy z nadzbiorów.

Rozumiem, że jak metryka nie jest określona to działa na każdej? Może się to wyda komuś nieprawdopodobne, ale jakoś mi najłatwiej przychodzi wyobrażenie sobie Euklidesowej.

Powiedzmy, że dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest zbiór \(\displaystyle{ Y}\), w taki razie dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ X \setminus A}\), też będzie \(\displaystyle{ Y}\), tylko już bez tego \(\displaystyle{ A}\)? Czy łącznie ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\)?

Rozumiem, że takie mgliste tłumaczenie może być, więc zrobiłem rysunek:

[Jan Kraszewski]

To przyznam się, że nie mam pojęcia jak miałoby wyglądać dopełnienie \(\displaystyle{ (X \setminus A)}\).
Bo dopełnienie rozumiem jako najmniejszy z nadzbiorów.

No to ja się nie dziwie, że wypisujesz takie "dowody", skoro nie rozumiesz podstawowych pojęć, którymi operujesz. Dwie uwagi zatem:

1. Nie ma czegoś takiego, jak "dopełnienie zbioru". Zawsze jest dopełnienie do ustalonej wcześniej przestrzeni. Dlatego mówiąc "dopełnienie" zawsze musisz wiedzieć, do czego dopełniasz.
2. Dopełnienie zbioru jest rozłączne z tym zbiorem, więc na pewno nie jest "najmniejszym z nadzbiorów", bo w ogóle nie jest nadzbiorem.

I rada:
Najpierw poznaj i zrozum definicje pojęć, których używasz.

Rozumiem, że jak metryka nie jest określona to działa na każdej?

Przykro mi, ale nie rozumiem tego zdania.

Może się to wyda komuś nieprawdopodobne, ale jakoś mi najłatwiej przychodzi wyobrażenie sobie Euklidesowej.

To najbardziej naturalna metryka, dlaczego miałoby to kogokolwiek dziwić?

Powiedzmy, że dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest zbiór \(\displaystyle{ Y}\), w taki razie dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ X \setminus A}\), też będzie \(\displaystyle{ Y}\), tylko już bez tego \(\displaystyle{ A}\)? Czy łącznie ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\)?

Rozumiem, że takie mgliste tłumaczenie może być, więc zrobiłem rysunek:

Rysunek nie pasuje do pytania, co to jest \(\displaystyle{ P}\)? Poza tym do czego dopełniasz? A odpowiedź na powyżej postawione pytanie i tak zależy od tego, jak mają się do siebie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ A}\).

I jeszcze uwaga: mam wrażenie, jakbyś zaczynał uczyć się matematyki wyższej "od środka", bez wcześniejszego poznania podstaw. Skąd Twoje nagłe zainteresowanie topologią?

JK

[Rozbitek]

1. Nie ma czegoś takiego, jak "dopełnienie zbioru". Zawsze jest dopełnienie do ustalonej wcześniej przestrzeni. Dlatego mówiąc "dopełnienie" zawsze musisz wiedzieć, do czego dopełniasz.
2. Dopełnienie zbioru jest rozłączne z tym zbiorem, więc na pewno nie jest "najmniejszym z nadzbiorów", bo w ogóle nie jest nadzbiorem.

I rada:
Najpierw poznaj i zrozum definicje pojęć, których używasz.

W jaki sposób jest rozłączny?


\(\displaystyle{ D _{d}}\) - rodzina zbiorów domkniętych.
Definicja, to:
\(\displaystyle{ D _{A} := \left\{ F \in D _{d} : A \subset F\right\}}\)
\(\displaystyle{ clA := \bigcap D _{A}}\)

Czyli iloczyn czego właściwie?
Wszystkich taki zbiorów które zawierają się w rodz. zb. domkniętych i A się w każdym z nich zawiera?
Skąd mam wiedzieć czy dany zbiór należy do rodziny?

Przykro mi, ale nie rozumiem tego zdania.

Twierdzenie jest prawdziwe dla każdej metryki?

To najbardziej naturalna metryka, dlaczego miałoby to kogokolwiek dziwić?

To był żart.

A odpowiedź na powyżej postawione pytanie i tak zależy od tego, jak mają się do siebie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest całą przestrzenią.

I jeszcze uwaga: mam wrażenie, jakbyś zaczynał uczyć się matematyki wyższej "od środka", bez wcześniejszego poznania podstaw. Skąd Twoje nagłe zainteresowanie topologią?

Moje nagłe zainteresowanie topologią wynika z tego, że za tydzień mam poprawkę ze wstępu do Topologii. Przyszedłem na studia matematyczne bez odpowiedniej wiedzy matematycznej, ale lubię matematykę i próbuję nadrabiać braki. Niestety w moim technikum poziom matematyki był tragiczny, a zdarzało się, że nauczycielka nie potrafiła zrobić zadania z książki. Próbną maturę z matematyki zaliczyło 6 osób na całą szkołę razem ze mną. Jak było z właściwą - nie wiem. Wyniki są utajnione.
Dosyć późno poznałem piękno matematyki, bo dopiero pod koniec 3 klasy. W 4 podjąłem decyzję, że będę zdawał matematykę rozszerzoną, nie mając z nią styczności nawet na moment. To czego się nauczyłem to granice i właściwie to tyle, więc poszło jak poszło, nie będę się chwalił wynikiem, bo i nie ma czym.
Jednak zdecydowałem, że chcę uczyć matematyki w szkole, dlatego jestem tu gdzie jestem.

[Jan Kraszewski]

W jaki sposób jest rozłączny?

\(\displaystyle{ D _{d}}\) - rodzina zbiorów domkniętych.
Definicja, to:
\(\displaystyle{ D _{A} := \left\{ F \in D _{d} : A \subset F\right\}}\)
\(\displaystyle{ clA := \bigcap D _{A}}\)

To nie jest definicja dopełnienia, tylko domknięcia zbioru. To dość istotna różnica.

Czyli iloczyn czego właściwie?
Wszystkich taki zbiorów które zawierają się w rodz. zb. domkniętych i A się w każdym z nich zawiera?

Domknięcie zbioru \(\displaystyle{ A}\) to najmniejszy zbiór domknięty zawierający \(\displaystyle{ A}\). Taka jest definicja, powyżej masz jedną z konstrukcji domknięcia.

Skąd mam wiedzieć czy dany zbiór należy do rodziny?

Po tym, czy spełnia definicję tej rodziny. A wiedza, które zbiory są domknięte w danej przestrzeni topologicznej/metrycznej wynika ze zrozumienia ich definicji (do której to definicji odwołujesz się w dowodach).

Twierdzenie jest prawdziwe dla każdej metryki?

Które twierdzenie?

JK

[Rozbitek]

Które twierdzenie?
JK

\(\displaystyle{ intA = X \setminus cl(X \setminus A)}\)
Gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest całą przestrzenią, a \(\displaystyle{ A \subset X}\).



Mówisz, żeby najpierw zrozumieć definicję.

Mamy wnętrze zbioru \(\displaystyle{ (intA)}\)
Wnętrze, to maksymalny, otwarty podzbiór w \(\displaystyle{ A}\).

Zbiór otwarty natomiast, to zbiór w którym każdy punkt należący do zbioru, zawiera się w tym zbiorze wraz z pewną kulą.

\(\displaystyle{ X}\) to cała przestrzeń.

Do tej pory wszystko rozumiem.

Dalej:
Domknięcie zbioru (dajmy na to zb.\(\displaystyle{ B}\))
Ozn. \(\displaystyle{ cl(B)}\).

Domknięcie to część wspólna wszystkich zbiorów domkniętych zawierających B. Więc najmniejszy zbiór domknięty, który zawiera w sobie \(\displaystyle{ B}\).

No i tutaj mam pytanie:
Rozważmy przestrzeń metryczną \(\displaystyle{ (\RR, d)}\), gdzie \(\displaystyle{ d}\) - metr. nat.
i \(\displaystyle{ \QQ \subset \RR}\)
To \(\displaystyle{ cl(\QQ) = \RR}\)

A jeżeli rozważymy:
\(\displaystyle{ \QQ \setminus \left\{ 1\right\}}\)
to \(\displaystyle{ cl(\QQ \setminus \left\{ 1\right\} ) = \RR}\) czy \(\displaystyle{ cl(\QQ \setminus \left\{ 1\right\} ) = \RR \setminus \left\{ 1\right\}}\)?

[Cytryn]

A jeżeli rozważymy:
\(\displaystyle{ \QQ \setminus \left\{ 1\right\}}\)
to \(\displaystyle{ cl(\QQ \setminus \left\{ 1\right\} ) = \RR}\) czy \(\displaystyle{ cl(\QQ \setminus \left\{ 1\right\} ) = \RR \setminus \left\{ 1\right\}}\)?

Wskazówka, \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} 1 + \frac 1n = 1}\).

[Rozbitek]

Wskazówka, \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} 1 + \frac 1n = 1}\).

Oh tak, cudownie byłoby widzieć jakąś zależność między granicą, a domknięciem, ale niestety...