Równanie opisujące krzywą i wykres

[Tzncioe]

Cześć!

Proszę o pomoc w następującym przykładzie:

Zbadać jaką krzywą opisuje dane równanie i narysować ją.

\(\displaystyle{ z(t) = \frac{-2t}{(\alpha t)^2 + 9} + i\frac{3}{(\alpha t)^2 + 9} \qquad t \in [0, \infty] \qquad \alpha \in \mathbb{R}}\)

Oznaczam:
\(\displaystyle{ x(t) = \frac{-2t}{(\alpha t)^2 + 9}}\)
\(\displaystyle{ y(t) = \frac{3}{(\alpha t)^2 + 9}}\)

\(\displaystyle{ x^2(t) + y^2(t) = \frac{4t^2 + 9}{(\alpha^2 t^2 + 9)^2} \stackrel{\alpha = \pm 2}{=} \frac{4t^2 + 9}{(4t^2 + 9)^2} = \frac{1}{4t^2 + 9} = \frac{1}{3}y(t) \qquad t \in [0, \infty]}\)

To udało mi się ustalić i jestem w stanie to narysować. Ale co w pozostałych przypadkach jak \(\displaystyle{ \alpha \neq \pm 2}\)? W tym proszę o pomoc i z góry dziękuję.

[kerajs]

Może tak:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}= \frac{-2t}{3} \Rightarrow t= \frac{-3x}{2y} \wedge y \neq 0\\
y= \frac{3}{ \alpha ^2t^2+9} \Rightarrow \alpha ^2t^2+9= \frac{3}{y} \Rightarrow \alpha ^2\left( \frac{-3x}{2y}\right) ^2+9= \frac{3}{y} \Rightarrow \frac{ \alpha ^2}{4}x^2+y^2= \frac{y}{3}}\)
A to jest elipsa. Dla \(\displaystyle{ \alpha = \pm 2}\) jest elipsą o równych półosiach czyli okręgiem.

Osobno rozważ \(\displaystyle{ \alpha =0}\)

-- 12 cze 2017, o 22:25 --

Ponieważ ostatnio robię trochę literówek to ponownie tu zaglądnąłem i widzę że t ma być dodatnie, czyli x powinien być wyłącznie ujemny. Oznacza to, że interesuje Cię jedynie fragment elipsy, albo półprosta (dla \(\displaystyle{ \alpha =0}\))