Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 1 raz
Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
Wiadomo, że \(\displaystyle{ B=\left\{ v_{1} , v_{2} , v_{3} \right\}}\) jest bazą ortonormalną w przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ (V,\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle )}\). Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ B^{'}}\) est bazą ortogonalną, ortonormalną w tej przestrzeni, jeśli:
\(\displaystyle{ B^{'}=\left\{ u_{1}= v_{1} -v_{2} +3v_{3},u_{2}=10v_{1}+v_{2}-3v_{3},u_{3}=6v_{2}+2v_{3}\right\}}\)
Czy w tym zadaniu chodzi o sprawdzenie warunku:
\(\displaystyle{ \left| \left| \ x_{1}+... x_{n} \right|\right| ^{2}= \left| \left| x_{1} \right| \right| ^{2} + ... + \left| \left| x_{1} \right| \right| ^{2}}\)
Czyli najpierw dodaję te wektory i wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ 11v_{1}+6v_{2}+2v_{3}}\) następnie liczę iloczyn skalarny, czyli w tym wypadku mnożę wartości przy wektorach? Coś na zasadzie:
\(\displaystyle{ 121v_{1}+36v_{2}+4v_{3}}\)
Następnie robię to samo z pojedynczymi wektorami i sprawdzam czy jest to samo? Bo jak zrobię to z pojedynczymi to wychodzi:
\(\displaystyle{ 100v_{1}+36v_{2}+4v_{3}}\)
Czyli baza nie jest ortogonalna-> nie jest ortonormalna?
\(\displaystyle{ B^{'}=\left\{ u_{1}= v_{1} -v_{2} +3v_{3},u_{2}=10v_{1}+v_{2}-3v_{3},u_{3}=6v_{2}+2v_{3}\right\}}\)
Czy w tym zadaniu chodzi o sprawdzenie warunku:
\(\displaystyle{ \left| \left| \ x_{1}+... x_{n} \right|\right| ^{2}= \left| \left| x_{1} \right| \right| ^{2} + ... + \left| \left| x_{1} \right| \right| ^{2}}\)
Czyli najpierw dodaję te wektory i wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ 11v_{1}+6v_{2}+2v_{3}}\) następnie liczę iloczyn skalarny, czyli w tym wypadku mnożę wartości przy wektorach? Coś na zasadzie:
\(\displaystyle{ 121v_{1}+36v_{2}+4v_{3}}\)
Następnie robię to samo z pojedynczymi wektorami i sprawdzam czy jest to samo? Bo jak zrobię to z pojedynczymi to wychodzi:
\(\displaystyle{ 100v_{1}+36v_{2}+4v_{3}}\)
Czyli baza nie jest ortogonalna-> nie jest ortonormalna?
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
Baza ortogonalna to baza złożona z wektorów, które parami prostopadłych, baza ortonormalna to baza ortogonalna taka, że każdy wektor z tej bazy ma długość równą jeden.
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
Znam warunki, ale nie wiem czy dobrze wykonuję działania na wektorach. Zazwyczaj mam podane konkretne wartości, a na wektorach typu \(\displaystyle{ \vec{v}}\), a nie \(\displaystyle{ (x,y,z,t)}\) zdarza mi się gubić.
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
Okej, ale iloczyn skalarny liczę albo poprzez wymnożenie odpowiadających sobie współrzędnych wektorów (których nie mam), albo mnożąc długości oraz kąt między wektorami (czego też nie mam). Tak jak wspominałem- ni cholery nie potrafię zrobić iloczynu skalarnego z tego.
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
No nie, chodzi o to, że:
\(\displaystyle{ \langle v_1 - v_2 + 3v_3, 10v_1 + v_2 - 3v_3 \rangle =}\)?
Hint: iloczyn skalarny jest liniowy na każdej współrzędnej.
\(\displaystyle{ \langle v_1 - v_2 + 3v_3, 10v_1 + v_2 - 3v_3 \rangle =}\)?
Hint: iloczyn skalarny jest liniowy na każdej współrzędnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
\(\displaystyle{ \langle v_1 - v_2 + 3v_3, 10v_1 + v_2 - 3v_3 \rangle =\left\langle 10v_1 - v_2 - 9v_3\right\rangle}\)?jutrvy pisze:No nie, chodzi o to, że:
\(\displaystyle{ \langle v_1 - v_2 + 3v_3, 10v_1 + v_2 - 3v_3 \rangle =}\)?
Hint: iloczyn skalarny jest liniowy na każdej współrzędnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
Czuję się jak idiota, ale ni cholery nie potrafię wyciągnąć wniosków z Waszych podpowiedzi. Prosiłbym o wynik powyższego iloczynu, żebym mógł sam to przeanalizować.
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
Po prostu wymnoz te sumy przez siebie tak jak liczby, pamiętając ile są równe iloczyny między wektora mi bazowymi
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?
Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \langle a+b, c\rangle = \langle a, c\rangle + \langle b, c\rangle}\) oraz z tego, że dla wektorów \(\displaystyle{ a, b}\) i skalara \(\displaystyle{ s}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \langle s\cdot a, b\rangle = s\cdot\langle a,b\rangle}\).
Na drugich współrzędnych tak samo.
Wiesz jeszcze, że \(\displaystyle{ \langle v_i, v_j\rangle = 0}\) gdy \(\displaystyle{ i\neq j}\) oraz, że
\(\displaystyle{ \langle v_i, v_j\rangle = 1}\), gdy \(\displaystyle{ i=j}\), bo baza \(\displaystyle{ B}\) jest bazą ortonormalną. Czy uzbrojony w te wskazówki potrafisz przeprowadzić rachunki?
\(\displaystyle{ \langle s\cdot a, b\rangle = s\cdot\langle a,b\rangle}\).
Na drugich współrzędnych tak samo.
Wiesz jeszcze, że \(\displaystyle{ \langle v_i, v_j\rangle = 0}\) gdy \(\displaystyle{ i\neq j}\) oraz, że
\(\displaystyle{ \langle v_i, v_j\rangle = 1}\), gdy \(\displaystyle{ i=j}\), bo baza \(\displaystyle{ B}\) jest bazą ortonormalną. Czy uzbrojony w te wskazówki potrafisz przeprowadzić rachunki?